Exercício 9. Calcule o fluxo \Phi do Campo vetorial \vec{F} através da superfície S
\vec{F}=z^{2} \vec{k} e S o hemisfério z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}} orientada como componente \vec{k} da normal positiva.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo \Phi do campo vetorial \vec F = z^2\,\vec k através do hemisfério
S: z = \sqrt{1 - x^2 - y^2},
orientado de modo que a componente \vec k da normal seja positiva.
O tema é integral de superfície de um campo vetorial e vamos usar coordenadas esféricas para parametrizar S e calcular \iint_S \vec F\cdot\mathbf n\,\mathrm dS.

Passo 2

Parametrizamos o hemisfério unitário por ângulos \varphi\in[0,\pi/2] e \theta\in[0,2\pi]:
\mathbf r(\varphi,\theta) = (\sin\varphi\cos\theta,\;\sin\varphi\sin\theta,\;\cos\varphi).
Para a esfera de raio 1, o vetor normal unitário externo é \mathbf n=\mathbf r e o elemento de área é
\mathrm dS = \sin\varphi\,\mathrm d\varphi\,\mathrm d\theta.
Como z=\cos\varphi, temos
\vec F\cdot\mathbf n = z^2\,n_z = \cos^2\varphi\cdot\cos\varphi = \cos^3\varphi,
logo o fluxo fica
\Phi = \int_0^{2\pi}\!\int_0^{\pi/2}\cos^3\varphi\,\sin\varphi\,\mathrm d\varphi\,\mathrm d\theta.

Passo 3

Para a integral em \varphi fazemos u=\cos\varphi, então \mathrm du=-\sin\varphi\,\mathrm d\varphi. Quando \varphi vai de 0 a \pi/2, u vai de 1 a 0. Assim
\int_0^{\pi/2}\cos^3\varphi\,\sin\varphi\,\mathrm d\varphi = \int_{1}^{0}u^3(-\mathrm du) = \int_0^1u^3\,\mathrm du = \frac{1}{4}.

Passo 4

Falta integrar em \theta, o que é imediato:
\Phi = \int_0^{2\pi}\frac{1}{4}\,\mathrm d\theta = \frac{1}{4}\cdot 2\pi = \frac{\pi}{2}.

Resposta

\displaystyle \Phi = \frac{\pi}{2}.

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