Exercício 7. Calcule o trabalho ao se deslocar uma partícula no campo de força \vec{F}=3 x^{2} \vec{i}+(2 x z-y) \vec{j} ao longo
da reta que liga (0,0,0) a (2,1,3).

Passo 1

O enunciado pede o trabalho realizado por uma força vetorial ao deslocar uma partícula ao longo de uma reta de (0,0,0) até (2,1,3). O conteúdo usado aqui é integral de linha de um campo vetorial e, para resolver, vamos parametrizar o caminho, calcular \vec F sobre essa parametrização, fazer o produto escalar com o vetor diferencial de posição e integrar.

Passo 2

Parametrizamos a reta que une (0,0,0) a (2,1,3) por
\vec r(t) = (2t,\,t,\,3t),\quad t\in[0,1].
Então
\frac{d\vec r}{dt} = (2,\,1,\,3).

Passo 3

Substituímos \vec r(t) em \vec F=(3x^{2},\,2xz - y,\,0). Como x=2t, y=t e z=3t, temos
F_x = 3(2t)^{2} = 12t^{2}, \quad F_y = 2\,(2t)(3t) - t = 12t^{2} - t, \quad F_z = 0.
Portanto
\vec F(\vec r(t)) = \bigl(12t^{2},\,12t^{2}-t,\,0\bigr).

Passo 4

O trabalho W é dado por
W = \int_{C} \vec F\cdot d\vec r = \int_{0}^{1} \vec F(\vec r(t))\cdot \frac{d\vec r}{dt}\,dt.
Fazendo o produto escalar
\vec F(\vec r(t))\cdot \frac{d\vec r}{dt} = (12t^{2},\,12t^{2}-t,\,0)\cdot(2,\,1,\,3) = 12t^{2}\cdot2 + (12t^{2}-t)\cdot1 + 0\cdot3 = 24t^{2} + 12t^{2} - t = 36t^{2} - t.

Passo 5

Integramos em t de 0 a 1:
W = \int_{0}^{1} (36t^{2} - t)\,dt = \Bigl[12t^{3} - \tfrac{t^{2}}{2}\Bigr]_{0}^{1} = 12 - \tfrac12 = \tfrac{23}{2}.

Resposta

O trabalho realizado é \displaystyle \tfrac{23}{2}.

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