Exercício 9. Calcule o fluxo
do Campo vetorial
através da superfície
e
o hemisfério
orientada como componente
da normal positiva.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo
do campo vetorial
através do hemisfério
orientado de modo que a componente
da normal seja positiva.
O tema é integral de superfície de um campo vetorial e vamos usar coordenadas esféricas para parametrizar e calcular
.
O tema é integral de superfície de um campo vetorial e vamos usar coordenadas esféricas para parametrizar
Passo 2
Parametrizamos o hemisfério unitário por ângulos
e
:
Para a esfera de raio 1, o vetor normal unitário externo é
e o elemento de área é
Como
, temos
logo o fluxo fica
Passo 3
Para a integral em
fazemos
, então
. Quando
vai de
a
,
vai de
a
. Assim
Passo 4
Falta integrar em
, o que é imediato: