A transformada de Fourier da função ímpar
f(x)=\left\{\begin{array}{l} e^{-x}, \text { se } x>0 \\\\ 0, x=0 \\\\ -e^{x}, \text { se } 0>x \end{array}\right.
é dada por
\mathcal{F}\{f(x)\}(w)=\frac{i w}{1+w^{2}}, \quad \xi \in \mathbb{R} .
Escolha uma opção:
Verdadeiro
Falso

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a transformada de Fourier da função ímpar
f(x)=\begin{cases} e^{-x}, & x>0,\\\\ 0, & x=0,\\\\ -e^{x}, & x<0 \end{cases}
é de fato
\mathcal{F}\{f(x)\}(\omega)=\frac{i\,\omega}{1+\omega^{2}}\,.
O conteúdo é cálculo de transformada de Fourier de função definida por partes.

Passo 2

Vamos usar a definição usual
\mathcal{F}\{f\}(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,e^{-i\,\omega x}\,dx.
Como f é definido por partes, separamos em duas integrais, de 0 a +\infty e de -\infty a 0.

Passo 3

Para a parte x>0:
\int_{0}^{\infty}e^{-x}\,e^{-i\,\omega x}\,dx =\int_{0}^{\infty}e^{-(1+i\omega)x}\,dx =\frac{1}{1+i\omega},
pois \Re(1+i\omega)=1>0.

Passo 4

Para a parte x<0:
\int_{-\infty}^{0}(-e^{x})\,e^{-i\,\omega x}\,dx =-\int_{-\infty}^{0}e^{(1-i\omega)x}\,dx =-\frac{1}{1-i\omega},
pois \Re(1-i\omega)=1>0.

Passo 5

Somando as duas parcelas:
\mathcal{F}\{f\}(\omega) =\frac{1}{1+i\omega}-\frac{1}{1-i\omega} =\frac{(1-i\omega)-(1+i\omega)}{1+\omega^2} =\frac{-2\,i\,\omega}{1+\omega^2}.
O resultado correto é \displaystyle -\frac{2\,i\,\omega}{1+\omega^2}, não \displaystyle \frac{i\,\omega}{1+\omega^2}.

Resposta

Falso

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