Exercício 4: Calcule \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y} para cada uma das funções abaixo.
\mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=e^{x^{2} y^{3}}\

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y} da função dada. A função fornecida é
f(x,y)=e^{x^{2}y^{3}}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função é uma composição: é a função exponencial aplicada ao expoente x^{2}y^{3}.
  • As incógnitas são x e y.
    As perguntas explícitas são: calcular \frac{\partial f}{\partial x} e calcular \frac{\partial f}{\partial y}.

Passo 2

O que significa derivada parcial? Vou explicar de forma prática: a derivada parcial de f em relação a x, escrita \frac{\partial f}{\partial x}, mede como f muda quando só mexemos x e mantemos y fixo. Formalmente:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}.
Analogamente, \frac{\partial f}{\partial y} varia y e mantém x fixo. Na prática, para funções dadas por fórmulas, você trata a outra variável como constante ao derivar.

Passo 3

Identificamos uma composição útil para aplicar a regra da cadeia. Definimos
u(x,y)=x^{2}y^{3}
e
g(t)=e^{t}.
Então f(x,y)=g(u(x,y)). A regra da cadeia para derivadas parciais diz que, por exemplo,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=g'(u(x,y))\cdot\frac{\partial u}{\partial x}(x,y).
Aqui g'(t)=e^{t}, porque a derivada da exponencial é ela mesma. Em palavras: derivamos a exponencial em relação ao seu argumento e multiplicamos pela derivada parcial do argumento.

Passo 4

Agora calculamos \frac{\partial u}{\partial x}. Lembre que u(x,y)=x^{2}y^{3}. Ao derivar em relação a x tratamos y como constante, então y^{3} é apenas um fator constante. Assim
\frac{\partial u}{\partial x}(x,y)=\frac{d}{dx}\big(x^{2}\big)\cdot y^{3}=2x\cdot y^{3}=2x\,y^{3}.
Expliquei: derivada de x^{2} é 2x, e multiplica-se pelo fator constante y^{3}.

Passo 5

Agora calculamos \frac{\partial u}{\partial y}. Aqui tratamos x como constante, então x^{2} é constante e derivamos y^{3}:
\frac{\partial u}{\partial y}(x,y)=x^{2}\cdot\frac{d}{dy}\big(y^{3}\big)=x^{2}\cdot 3y^{2}=3x^{2}\,y^{2}.
Ou seja, derivada de y^{3} é 3y^{2}, vezes o fator constante x^{2}.

Passo 6

Voltando à regra da cadeia com g'(u)=e^{u}, substituímos u=x^{2}y^{3} e as derivadas parciais de u que achamos. Assim:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=e^{u(x,y)}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}(x,y)=e^{x^{2}y^{3}}\cdot(2x\,y^{3})=2x\,y^{3}\,e^{x^{2}y^{3}}.
E
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=e^{u(x,y)}\cdot\frac{\partial u}{\partial y}(x,y)=e^{x^{2}y^{3}}\cdot(3x^{2}\,y^{2})=3x^{2}\,y^{2}\,e^{x^{2}y^{3}}.
Se quiser um exemplo mais simples para fixar: para h(x)=e^{x^{2}} a derivada h'(x)=2x e^{x^{2}}. Aqui fizemos o mesmo raciocínio, só que com dois variáveis e derivadas parciais.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=2x\,y^{3}\,e^{x^{2}y^{3}}
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=3x^{2}\,y^{2}\,e^{x^{2}y^{3}}

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