Exercício 4: Calcule
e
para cada uma das funções abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais
e
da função dada. A função fornecida é
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função é uma composição: é a função exponencial aplicada ao expoente
. - As incógnitas são
e .
As perguntas explícitas são: calculare calcular .
Passo 2
O que significa derivada parcial? Vou explicar de forma prática: a derivada parcial de
em relação a
, escrita
, mede como
muda quando só mexemos
e mantemos
fixo. Formalmente:
Analogamente,
varia
e mantém
fixo. Na prática, para funções dadas por fórmulas, você trata a outra variável como constante ao derivar.
Passo 3
Identificamos uma composição útil para aplicar a regra da cadeia. Definimos
e
Então
. A regra da cadeia para derivadas parciais diz que, por exemplo,
Aqui
, porque a derivada da exponencial é ela mesma. Em palavras: derivamos a exponencial em relação ao seu argumento e multiplicamos pela derivada parcial do argumento.
Passo 4
Agora calculamos
. Lembre que
. Ao derivar em relação a
tratamos
como constante, então
é apenas um fator constante. Assim
Expliquei: derivada de
é
, e multiplica-se pelo fator constante
.
Passo 5
Agora calculamos
. Aqui tratamos
como constante, então
é constante e derivamos
:
Ou seja, derivada de
é
, vezes o fator constante
.
Passo 6
Voltando à regra da cadeia com
, substituímos
e as derivadas parciais de
que achamos. Assim:
E
Se quiser um exemplo mais simples para fixar: para
a derivada
. Aqui fizemos o mesmo raciocínio, só que com dois variáveis e derivadas parciais.