Exercício 1: Nas funções abaixo, determine as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem nos pontos (1,4) e (-3, 2):
f(x, y)=\cos (x y)-\operatorname{sem}(x y)+10

Passo 1

O enunciado pede: nas funções abaixo, determinar as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem nos pontos (1,4) e (-3,2). A função dada é
f(x,y)=\cos(xy)-\operatorname{sem}(xy)+10.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A variável independente é o par (x,y).
  • A expressão depende de xy (o produto das variáveis).
  • Queremos todas as derivadas parciais de primeira ordem ( f_x,f_y) e de segunda ordem ( f_{xx},f_{yy},f_{xy}) avaliadas em dois pontos: (1,4) e (-3,2).
Observação importante: no enunciado aparece \operatorname{sem}(xy). Acredito que isso seja um erro de digitação e que a intenção seja \sin(xy) (o seno), que em português costuma ser escrito “sen”. Vou tratar \operatorname{sem} como \sin. Se eu estiver errado sobre essa interpretação, os cálculos a seguir não valem — mas essa é a hipótese natural para poder diferenciar a expressão.

Passo 2

Conceitos que vamos usar (explicação didática e uso em prova):
  1. Definição de derivada parcial: a derivada parcial de f em relação a x mede a taxa de variação de f quando só x varia e y fica fixo. Formalmente,
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}f(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}.
Analogamente para f_y.
  1. Regras que usaremos:
  • Derivada de \cos(u) em relação a u é -\sin(u).
  • Derivada de \sin(u) em relação a u é \cos(u).
  • Regra da cadeia: se g(x,y)=h(u(x,y)), então \frac{\partial g}{\partial x}=h'(u)\cdot \frac{\partial u}{\partial x}.
  • Produto/constante: se multiplicamos por uma função que não depende do x (por exemplo y ao derivar em x) tratamos como constante.
No nosso caso, a expressão aparece sempre como função de u=xy. Então vamos definir u(x,y)=xy e aplicar a regra da cadeia sempre que diferenciarmos \cos(xy) ou \sin(xy).

Passo 3

Calcular f_x(x,y) (passo a passo, com explicação):
Escrevemos f(x,y)=\cos(u)-\sin(u)+10 com u=xy.
  • Derivada de \cos(u) em relação a x: pela cadeia,
\frac{\partial}{\partial x}\cos(u) = -\sin(u)\cdot \frac{\partial u}{\partial x} = -\sin(xy)\cdot y,
pois \frac{\partial}{\partial x}(xy)=y (tratamos y como constante).
  • Derivada de -\sin(u) em relação a x:
\frac{\partial}{\partial x}\big(-\sin(u)\big) = -\cos(u)\cdot \frac{\partial u}{\partial x} = -\cos(xy)\cdot y.
  • Derivada de 10 é 0.
Somando as partes:
f_x(x,y)=y\big(-\sin(xy)-\cos(xy)\big).
Podemos escrever também
f_x(x,y)=-y\big(\sin(xy)+\cos(xy)\big).
No exame, explique que aplicou a regra da cadeia duas vezes e somou os resultados.

Passo 4

Calcular f_y(x,y) (análogo ao f_x):
Agora \frac{\partial}{\partial y}(xy)=x. Aplicando cadeia:
  • Derivada de \cos(xy) em relação a y:
-\sin(xy)\cdot x.
  • Derivada de -\sin(xy) em relação a y:
-\cos(xy)\cdot x.
Portanto,
f_y(x,y)=x\big(-\sin(xy)-\cos(xy)\big) = -x\big(\sin(xy)+\cos(xy)\big).

Passo 5

Calcular f_{xx}(x,y) (segunda derivada parcial em x) — explicando produto e cadeia:
Temos f_x(x,y)=y\cdot g(x,y) com g(x,y)=-\sin(xy)-\cos(xy). Quando derivamos em x, y é constante, então
f_{xx}(x,y)=y\cdot \frac{\partial}{\partial x}g(x,y).
Agora calculemos \frac{\partial}{\partial x}g:
  • \frac{\partial}{\partial x}\big(-\sin(xy)\big) = -\cos(xy)\cdot \frac{\partial}{\partial x}(xy) = -\cos(xy)\cdot y.
  • \frac{\partial}{\partial x}\big(-\cos(xy)\big) = \sin(xy)\cdot \frac{\partial}{\partial x}(xy) = \sin(xy)\cdot y.
Somando:
\frac{\partial}{\partial x}g = y\big(-\cos(xy)+\sin(xy)\big).
Multiplicando pelo y externo:
f_{xx}(x,y)=y^2\big(\sin(xy)-\cos(xy)\big).

Passo 6

Calcular f_{yy}(x,y) (segunda derivada parcial em y), por simetria:
Como f_y(x,y)=x\cdot(-\sin(xy)-\cos(xy)), análoga ao caso anterior ao trocar x\leftrightarrow y, obtemos
f_{yy}(x,y)=x^2\big(\sin(xy)-\cos(xy)\big).
Explicação breve: derivamos em y usando regra da cadeia duas vezes e o fator x aparece quadrado.

Passo 7

Calcular f_{xy}(x,y) (mista) e mostrar f_{xy}=f_{yx}:
Partimos de f_x(x,y)=y\big(-\sin(xy)-\cos(xy)\big). Derivando em y (produto):
f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}\big[y\cdot(-\sin(xy)-\cos(xy))\big] = 1\cdot(-\sin(xy)-\cos(xy)) + y\cdot\frac{\partial}{\partial y}\big(-\sin(xy)-\cos(xy)\big).
Calcule a derivada interna (usando \partial (xy)/\partial y = x):
\frac{\partial}{\partial y}\big(-\sin(xy)\big) = -\cos(xy)\cdot x,
\frac{\partial}{\partial y}\big(-\cos(xy)\big) = \sin(xy)\cdot x.
Somando:
\frac{\partial}{\partial y}\big(-\sin(xy)-\cos(xy)\big) = x\big(-\cos(xy)+\sin(xy)\big).
Multiplicando por y e somando o termo inicial:
f_{xy}(x,y) = -\sin(xy)-\cos(xy) + xy\big(\sin(xy)-\cos(xy)\big).
Se preferir, pode reescrever de forma combinada, mas essa forma é clara para avaliar em pontos. Pela simetria do problema (função suave), f_{yx}=f_{xy}; de fato, derivando f_y em x obtém-se exatamente a mesma expressão (verificação rápida possível em prova).

Passo 8

Agora avaliamos todas as derivadas nos pontos pedidos. Primeiro, em (1,4).
Calcule u=xy em (1,4): u=1\cdot4=4.
Substituindo em cada fórmula:
  • f_x(1,4)= -y\big(\sin(xy)+\cos(xy)\big) com y=4 e xy=4:
f_x(1,4) = -4\big(\sin 4 + \cos 4\big).
  • f_y(1,4) = -x\big(\sin(xy)+\cos(xy)\big) com x=1:
f_y(1,4) = -\big(\sin 4 + \cos 4\big).
  • f_{xx}(1,4)= y^2\big(\sin(xy)-\cos(xy)\big) com y=4:
f_{xx}(1,4)=16\big(\sin 4 - \cos 4\big).
  • f_{yy}(1,4)= x^2\big(\sin(xy)-\cos(xy)\big) com x=1:
f_{yy}(1,4)=\sin 4 - \cos 4.
  • f_{xy}(1,4)= -\sin(xy)-\cos(xy) + xy\big(\sin(xy)-\cos(xy)\big) com xy=4:
f_{xy}(1,4) = -\sin 4 - \cos 4 + 4\big(\sin 4 - \cos 4\big).
Podemos simplificar:
f_{xy}(1,4)=3\sin 4 - 5\cos 4.

Passo 9

Agora avaliamos todas as derivadas em (-3,2).
Calcule u=xy em (-3,2): u=(-3)\cdot 2 = -6.
É útil usar as identidades \sin(-6)=-\sin 6 e \cos(-6)=\cos 6 para simplificar.
Substituindo:
  • f_x(-3,2)= -y\big(\sin(xy)+\cos(xy)\big) com y=2 e xy=-6:
f_x(-3,2) = -2\big(\sin(-6)+\cos(-6)\big).
Usando \sin(-6)=-\sin6 e \cos(-6)=\cos6:
f_x(-3,2) = -2\big(-\sin6+\cos6\big) = 2\big(\sin6-\cos6\big).
  • f_y(-3,2)= -x\big(\sin(xy)+\cos(xy)\big) com x=-3:
f_y(-3,2) = -(-3)\big(\sin(-6)+\cos(-6)\big) = 3\big(-\sin6+\cos6\big) = -3\big(\sin6-\cos6\big).
Ou simplificando:
f_y(-3,2) = -3\sin6 + 3\cos6.
  • f_{xx}(-3,2)= y^2\big(\sin(xy)-\cos(xy)\big) com y=2:
f_{xx}(-3,2)=4\big(\sin(-6)-\cos(-6)\big)=4\big(-\sin6-\cos6\big) = -4\big(\sin6+\cos6\big).
  • f_{yy}(-3,2)= x^2\big(\sin(xy)-\cos(xy)\big) com x=-3:
f_{yy}(-3,2)=9\big(\sin(-6)-\cos(-6)\big)=9\big(-\sin6-\cos6\big) = -9\big(\sin6+\cos6\big).
  • f_{xy}(-3,2)= -\sin(xy)-\cos(xy) + xy\big(\sin(xy)-\cos(xy)\big) com xy=-6:
    Primeiro calcule -\sin(-6)-\cos(-6)= -(-\sin6)-\cos6 = \sin6-\cos6.
    Depois \sin(-6)-\cos(-6)= -\sin6-\cos6 = -(\sin6+\cos6). Multiplicando por xy=-6 6(\sin6+\cos6).
    Somando:
f_{xy}(-3,2) = \sin6-\cos6 + 6(\sin6+\cos6) = 7\sin6 + 5\cos6.
Observação: f_{yx}(-3,2)=f_{xy}(-3,2) pela suavidade da função.

Passo 10

Dica rápida para a prova (resumindo o método): identifique a dependência via u=xy, aplique a regra da cadeia com \partial u/\partial x=y e \partial u/\partial y=x, calcule primeiro as parciais de primeira ordem, depois derive novamente aplicando produto e cadeia. Sempre deixe as respostas em termos de \sin e \cos de xy se não for pedido valor numérico.
Você já chegou até aqui — parabéns! Vai dar certo, respira e revisa esses passos mais uma vez.

Resposta

Em (1,4):
f_x(1,4) = -4\big(\sin 4 + \cos 4\big)
f_y(1,4) = -\big(\sin 4 + \cos 4\big)
f_{xx}(1,4) = 16\big(\sin 4 - \cos 4\big)
f_{yy}(1,4) = \sin 4 - \cos 4
f_{xy}(1,4) = 3\sin 4 - 5\cos 4
Em (-3,2):
f_x(-3,2) = 2\big(\sin 6 - \cos 6\big)
f_y(-3,2) = -3\big(\sin 6 - \cos 6\big)
f_{xx}(-3,2) = -4\big(\sin 6 + \cos 6\big)
f_{yy}(-3,2) = -9\big(\sin 6 + \cos 6\big)
f_{xy}(-3,2) = 7\sin 6 + 5\cos 6

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