Exercício 1: Nas funções abaixo, determine as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem nos pontos
e
:
Passo 1
O enunciado pede: nas funções abaixo, determinar as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem nos pontos
e
. A função dada é
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A variável independente é o par
. - A expressão depende de
(o produto das variáveis). - Queremos todas as derivadas parciais de primeira ordem (
) e de segunda ordem ( ) avaliadas em dois pontos: e .
Observação importante: no enunciado aparece
. Acredito que isso seja um erro de digitação e que a intenção seja
(o seno), que em português costuma ser escrito “sen”. Vou tratar
como
. Se eu estiver errado sobre essa interpretação, os cálculos a seguir não valem — mas essa é a hipótese natural para poder diferenciar a expressão.
Passo 2
Conceitos que vamos usar (explicação didática e uso em prova):
- Definição de derivada parcial: a derivada parcial de
em relação a mede a taxa de variação de quando só varia e fica fixo. Formalmente,
Analogamente para
.
- Regras que usaremos:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é . - Regra da cadeia: se
, então . - Produto/constante: se multiplicamos por uma função que não depende do
(por exemplo ao derivar em ) tratamos como constante.
No nosso caso, a expressão aparece sempre como função de
. Então vamos definir
e aplicar a regra da cadeia sempre que diferenciarmos
ou
.
Passo 3
Calcular
(passo a passo, com explicação):
Escrevemos
com
.
- Derivada de
em relação a : pela cadeia,
pois
(tratamos
como constante).
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
é .
Somando as partes:
Podemos escrever também
No exame, explique que aplicou a regra da cadeia duas vezes e somou os resultados.
Passo 4
Calcular
(análogo ao
):
Agora
. Aplicando cadeia:
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a :
Portanto,
Passo 5
Calcular
(segunda derivada parcial em
) — explicando produto e cadeia:
Temos
com
. Quando derivamos em
,
é constante, então
Agora calculemos
:
Somando:
Multiplicando pelo
externo:
Passo 6
Calcular
(segunda derivada parcial em
), por simetria:
Como
, análoga ao caso anterior ao trocar
, obtemos
Explicação breve: derivamos em
usando regra da cadeia duas vezes e o fator
aparece quadrado.
Passo 7
Calcular
(mista) e mostrar
:
Partimos de
. Derivando em
(produto):
Calcule a derivada interna (usando
):
Somando:
Multiplicando por
e somando o termo inicial:
Se preferir, pode reescrever de forma combinada, mas essa forma é clara para avaliar em pontos. Pela simetria do problema (função suave),
; de fato, derivando
em
obtém-se exatamente a mesma expressão (verificação rápida possível em prova).
Passo 8
Agora avaliamos todas as derivadas nos pontos pedidos. Primeiro, em
.
Calcule
em
:
.
Substituindo em cada fórmula:
-
com e :
-
com :
-
com :
-
com :
-
com :
Podemos simplificar:
Passo 9
Agora avaliamos todas as derivadas em
.
Calcule
em
:
.
É útil usar as identidades
e
para simplificar.
Substituindo:
-
com e :
Usando
e
:
-
com :
Ou simplificando:
-
com :
-
com :
-
com :
Primeiro calcule.
Depois. Multiplicando por dá .
Somando:
Observação:
pela suavidade da função.
Passo 10
Dica rápida para a prova (resumindo o método): identifique a dependência via
, aplique a regra da cadeia com
e
, calcule primeiro as parciais de primeira ordem, depois derive novamente aplicando produto e cadeia. Sempre deixe as respostas em termos de
e
de
se não for pedido valor numérico.
Você já chegou até aqui — parabéns! Vai dar certo, respira e revisa esses passos mais uma vez.
Resposta
Em
:
Em
: