Exercício 2: Seja f(x, y)=x^{2} y^{3}. Calcule:
\frac{\partial f}{\partial x} \mathrm{e} \frac{\partial f}{\partial y}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=x^{2}y^{3} e pede dois cálculos:
\text{(i) } \frac{\partial f}{\partial x},\qquad \text{(ii) } \frac{\partial f}{\partial y}.
Informações relevantes que recebemos do enunciado:
f(x,y)=x^{2}y^{3}.
Nada mais é fornecido; a tarefa é encontrar as derivadas parciais da função em relação a x e em relação a y.

Passo 2

O que é uma derivada parcial (explicação didática): a derivada parcial de f em relação a x mede como f muda quando só variamos x, mantendo y fixo. Formalmente, a definição por limite é
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}.
Analogamente, a derivada parcial em relação a y é
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\lim_{k\to0}\frac{f(x,y+k)-f(x,y)}{k},
onde nesse limite x fica fixo e só y varia.
Regras importantes que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Regra do fator constante: se uma expressão tem um fator que não depende da variável que estamos diferenciando, esse fator fica como constante e sai da diferenciação.
  • Regra da potência (para funções de uma variável): se g(t)=t^{n} com n inteiro positivo, então g'(t)=n t^{n-1}. Aqui usamos essa regra aplicando-a à variável que está realmente variando (ou ao que resta depois de considerar constantes).

Passo 3

Cálculo de \frac{\partial f}{\partial x} — método com limite (passo a passo):
Começamos aplicando a definição por limite, mantendo y fixo:
f(x+h,y)=(x+h)^{2}y^{3}.
Expandindo (x+h)^{2} (binômio):
(x+h)^{2}=x^{2}+2xh+h^{2},
logo
f(x+h,y)=(x^{2}+2xh+h^{2})y^{3}=x^{2}y^{3}+2xhy^{3}+h^{2}y^{3}.
Agora formamos o quociente do incremento dividido por h:
\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}=\frac{(x^{2}y^{3}+2xhy^{3}+h^{2}y^{3})-x^{2}y^{3}}{h}=\frac{2xhy^{3}+h^{2}y^{3}}{h}.
Simplificando h no numerador:
\frac{2xhy^{3}+h^{2}y^{3}}{h}=2xy^{3}+hy^{3}.
Agora tomamos o limite quando h\to0:
\lim_{h\to0}(2xy^{3}+hy^{3})=2xy^{3}+0=2xy^{3}.
Portanto
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2xy^{3}.
Comentário didático curto: aqui tratamos y^{3} como constante (porque diferenciamos em relação a x), e aplicamos a regra da potência a x^{2}, obtendo 2x, multiplicado por esse fator constante y^{3}.

Passo 4

Cálculo de \frac{\partial f}{\partial y} — método com limite (passo a passo):
Agora mantemos x fixo e variamos y. Use a definição por limite com incremento k:
f(x,y+k)=x^{2}(y+k)^{3}.
Expandimos (y+k)^{3} usando o binômio (ou fórmula de expansão):
(y+k)^{3}=y^{3}+3y^{2}k+3yk^{2}+k^{3}.
Logo
f(x,y+k)=x^{2}(y^{3}+3y^{2}k+3yk^{2}+k^{3})=x^{2}y^{3}+3x^{2}y^{2}k+3x^{2}yk^{2}+x^{2}k^{3}.
Formamos o quociente do incremento:
\frac{f(x,y+k)-f(x,y)}{k}=\frac{(x^{2}y^{3}+3x^{2}y^{2}k+3x^{2}yk^{2}+x^{2}k^{3})-x^{2}y^{3}}{k}=\frac{3x^{2}y^{2}k+3x^{2}yk^{2}+x^{2}k^{3}}{k}.
Simplificando k:
\frac{3x^{2}y^{2}k+3x^{2}yk^{2}+x^{2}k^{3}}{k}=3x^{2}y^{2}+3x^{2}yk+x^{2}k^{2}.
Tomando o limite quando k\to0:
\lim_{k\to0}(3x^{2}y^{2}+3x^{2}yk+x^{2}k^{2})=3x^{2}y^{2}+0+0=3x^{2}y^{2}.
Portanto
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=3x^{2}y^{2}.
Comentário didático curto: aqui x^{2} é tratado como constante (porque diferenciamos em relação a y), e aplicamos a regra da potência a y^{3}, obtendo 3y^{2}, multiplicado por x^{2}.

Passo 5

Resumo intuitivo (para fixar): pensar em f(x,y)=x^{2}y^{3} como produto de uma parte que depende só de x ( x^{2}) e outra que depende só de y ( y^{3}). Ao derivar por x você deriva x^{2} (ficando 2x) e mantém y^{3} como fator constante; ao derivar por y você deriva y^{3} (ficando 3y^{2}) e mantém x^{2} constante. Assim obtemos os resultados acima.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=2xy^{3}
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=3x^{2}y^{2}

Exercícios relacionados