Exercício 2: Seja
. Calcule:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede dois cálculos:
Informações relevantes que recebemos do enunciado:
Nada mais é fornecido; a tarefa é encontrar as derivadas parciais da função em relação a
e em relação a
.
Passo 2
O que é uma derivada parcial (explicação didática): a derivada parcial de
em relação a
mede como
muda quando só variamos
, mantendo
fixo. Formalmente, a definição por limite é
Analogamente, a derivada parcial em relação a
é
onde nesse limite
fica fixo e só
varia.
Regras importantes que vamos usar (explicadas de forma simples):
Regras importantes que vamos usar (explicadas de forma simples):
- Regra do fator constante: se uma expressão tem um fator que não depende da variável que estamos diferenciando, esse fator fica como constante e sai da diferenciação.
- Regra da potência (para funções de uma variável): se
com inteiro positivo, então . Aqui usamos essa regra aplicando-a à variável que está realmente variando (ou ao que resta depois de considerar constantes).
Passo 3
Cálculo de
— método com limite (passo a passo):
Começamos aplicando a definição por limite, mantendo fixo:
Começamos aplicando a definição por limite, mantendo
Expandindo
(binômio):
logo
Agora formamos o quociente do incremento dividido por
:
Simplificando
no numerador:
Agora tomamos o limite quando
:
Portanto
Comentário didático curto: aqui tratamos
como constante (porque diferenciamos em relação a
), e aplicamos a regra da potência a
, obtendo
, multiplicado por esse fator constante
.
Passo 4
Cálculo de
— método com limite (passo a passo):
Agora mantemos fixo e variamos
. Use a definição por limite com incremento
:
Agora mantemos
Expandimos
usando o binômio (ou fórmula de expansão):
Logo
Formamos o quociente do incremento:
Simplificando
:
Tomando o limite quando
:
Portanto
Comentário didático curto: aqui
é tratado como constante (porque diferenciamos em relação a
), e aplicamos a regra da potência a
, obtendo
, multiplicado por
.
Passo 5
Resumo intuitivo (para fixar): pensar em
como produto de uma parte que depende só de
(
) e outra que depende só de
(
). Ao derivar por
você deriva
(ficando
) e mantém
como fator constante; ao derivar por
você deriva
(ficando
) e mantém
constante. Assim obtemos os resultados acima.