Exercício 0.1 Calcule
\frac{\sqrt{2} \sqrt[3]{2}}{\sqrt[4]{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão
\frac{\sqrt{2}\,\sqrt[3]{2}}{\sqrt[4]{2}}.
Informações dadas: temos produtos e quocientes de raízes de base \,2. O objetivo é simplificar essa expressão e obter um único número (ou uma forma simples dele).

Passo 2

Regra importante: uma raiz pode ser escrita como potência de expoente fracionário. Em particular:
\sqrt[n]{a} = a^{1/n}.
Vamos aplicar isso a cada raiz da expressão:
\sqrt{2}=2^{1/2},\qquad \sqrt[3]{2}=2^{1/3},\qquad \sqrt[4]{2}=2^{1/4}.

Passo 3

Substituindo essas potências na expressão original obtemos
\frac{\sqrt{2}\,\sqrt[3]{2}}{\sqrt[4]{2}}=\frac{2^{1/2}\cdot 2^{1/3}}{2^{1/4}}.
Agora usamos as leis dos expoentes. Dois resultados fundamentais que precisamos lembrar e que vou explicar com calma:
  1. Produto de potências de mesma base: a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}. Exemplo simples: 2^{3}\cdot2^{2}=2^{3+2}=2^{5}.
  2. Quociente de potências de mesma base: \dfrac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}. Exemplo: \dfrac{2^{5}}{2^{2}}=2^{5-2}=2^{3}.

Passo 4

Aplicando essas regras ao caso:
\frac{2^{1/2}\cdot 2^{1/3}}{2^{1/4}}=2^{\,1/2+1/3-1/4}.
Agora precisamos somar e subtrair as frações 1/2, 1/3 e 1/4. Para isso, passo a passo, colocamos em denominar comum. O mínimo múltiplo comum de 2,3,4 é 12. Convertendo:
\frac{1}{2}=\frac{6}{12},\qquad \frac{1}{3}=\frac{4}{12},\qquad \frac{1}{4}=\frac{3}{12}.

Passo 5

Agora somamos e subtraímos as frações convertidas:
\frac{6}{12}+\frac{4}{12}-\frac{3}{12}=\frac{6+4-3}{12}=\frac{7}{12}.
Portanto o expoente resultante é \,7/12, e a expressão fica
2^{7/12}.

Passo 6

Opcional (forma equivalente): podemos também escrever essa potência como uma raiz:
2^{7/12}=\sqrt[12]{2^{7}}=\sqrt[12]{128}.
Ambas as formas representam o mesmo número; a forma 2^{7/12} é often a mais direta quando trabalhamos com expoentes fracionários.

Resposta

\,2^{7/12}

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