Exercício 0.1 Calcule
\sqrt[3]{\frac{5}{2}} / \sqrt[5]{\frac{1}{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão
\sqrt[3]{\frac{5}{2}} \; \Big/ \; \sqrt[5]{\frac{1}{2}}.
Informações dadas: a expressão é uma divisão entre duas raízes com índices diferentes — uma raiz cúbica de \frac{5}{2} e uma raiz quinta de \frac{1}{2}. Não há mais dados.

Passo 2

Regra fundamental sobre raízes e potências: lembrar que a raiz enésima pode ser escrita como potência de expoente racional. Em símbolos:
\sqrt[n]{a} = a^{1/n},
onde a é o número que entra na raiz e n é o índice da raiz. Aqui a e n aparecem nas duas raízes do problema.

Passo 3

Aplicando essa regra às duas raízes da expressão:
\sqrt[3]{\frac{5}{2}} = \left(\frac{5}{2}\right)^{1/3}, \qquad \sqrt[5]{\frac{1}{2}} = \left(\frac{1}{2}\right)^{1/5}.
Substituímos na expressão inicial:
\frac{\sqrt[3]{\frac{5}{2}}}{\sqrt[5]{\frac{1}{2}}} = \frac{\left(\frac{5}{2}\right)^{1/3}}{\left(\frac{1}{2}\right)^{1/5}}.

Passo 4

Propriedade útil de potências: dividir por uma potência é o mesmo que multiplicar pelo inverso da potência, e o inverso de x^{r} é x^{-r}. Assim
\frac{\left(\frac{5}{2}\right)^{1/3}}{\left(\frac{1}{2}\right)^{1/5}} = \left(\frac{5}{2}\right)^{1/3} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{-1/5}.

Passo 5

Outra propriedade: a potência de uma fração separa-se em potência do numerador sobre potência do denominador:
\left(\frac{a}{b}\right)^{r} = \frac{a^{r}}{b^{r}}.
Aplicando-a em cada fator:
\left(\frac{5}{2}\right)^{1/3} = \frac{5^{1/3}}{2^{1/3}}, \qquad \left(\frac{1}{2}\right)^{-1/5} = \frac{1^{-1/5}}{2^{-1/5}} = 2^{1/5},
porque 1^{-1/5}=1. Portanto a expressão fica
\frac{5^{1/3}}{2^{1/3}} \cdot 2^{1/5}.

Passo 6

Combine as potências de 2. Temos 2^{-1/3} (porque está no denominador) multiplicado por 2^{1/5}. Usamos a regra das potências com mesma base:
b^{u}\cdot b^{v} = b^{u+v}.
Aqui os expoentes são -\tfrac{1}{3} e \tfrac{1}{5}, então
-\,\tfrac{1}{3} + \tfrac{1}{5} = \frac{-5+3}{15} = -\frac{2}{15}.
Logo o combinado dá 2^{-2/15}. Assim a expressão vira
5^{1/3}\cdot 2^{-2/15}.

Passo 7

Escrever de forma mais limpa e com expoente comum: observe que 5^{1/3} = 5^{5/15}. Então
5^{1/3}\cdot 2^{-2/15} = 5^{5/15}\cdot 2^{-2/15} = \left(\frac{5^{5}}{2^{2}}\right)^{1/15}.
Essa forma é útil porque reúne tudo em uma única potência de expoente \tfrac{1}{15} com numerador e denominador inteiros.

Resposta

\left(\dfrac{5^{5}}{2^{2}}\right)^{1/15}

Exercícios relacionados