Exercício 0.1 Calcule
\frac{\sqrt[3]{4}-1}{\sqrt[3]{2}-1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão
\frac{\sqrt[3]{4}-1}{\sqrt[3]{2}-1}.
Informações dadas: os termos \sqrt[3]{4} e \sqrt[3]{2} (raízes cúbicas de 4 e de 2) aparecem no numerador e no denominador.

Passo 2

Para facilitar, defino uma variável simples. Seja
a=\sqrt[3]{2}.
Isto significa que
a^3=2,
ou seja, a é o número que ao cubo dá 2. Esta é só uma notação para simplificar a escrita.

Passo 3

Observe que \sqrt[3]{4} pode ser escrito em função de a. Como 4=2^2, temos
\sqrt[3]{4}=(2^2)^{1/3}=2^{2/3}=(2^{1/3})^2=a^2.
Portanto a expressão original vira
\frac{\sqrt[3]{4}-1}{\sqrt[3]{2}-1}=\frac{a^2-1}{a-1}.

Passo 4

Agora use a identidade algébrica clássica (diferença de quadrados):
x^2-1=(x-1)(x+1),
válida para qualquer número real x. Aplicando com x=a obtemos
a^2-1=(a-1)(a+1).
Substituindo no quociente:
\frac{a^2-1}{a-1}=\frac{(a-1)(a+1)}{a-1}.

Passo 5

Podemos cancelar o fator (a-1) no numerador e no denominador, desde que a\neq1. Verificamos que a\neq1 porque a^3=2 e 1^3=1\neq2. Cancelando, fica
\frac{(a-1)(a+1)}{a-1}=a+1.

Passo 6

Voltando à notação original ( a=\sqrt[3]{2}), a resposta final é
\sqrt[3]{2}+1.
Como checagem numérica rápida: \sqrt[3]{2}\approx1,25992105, então \sqrt[3]{2}+1\approx2,25992105, que coincide com o valor numérico do quociente.

Resposta

\sqrt[3]{2}+1

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