Exercício 0.1 Calcule
\sqrt{\sqrt{2}-1} \sqrt{\sqrt{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto das duas raízes:
\sqrt{\sqrt{2}-1}\;\sqrt{\sqrt{2}+1}.
Informações dadas e observações que vêm diretamente do enunciado:
  • Os dois radicandos são \sqrt{2}-1 e \sqrt{2}+1.
  • A expressão pede o produto das duas raízes quadradas acima.

Passo 2

Vamos usar uma propriedade importante de raízes: se x\ge 0 e y\ge 0, então
\sqrt{x}\,\sqrt{y}=\sqrt{xy}.
Explicação didática: a raiz quadrada \sqrt{\cdot} retorna sempre um número não negativo. Se x e y são não negativos, então o produto \sqrt{x}\sqrt{y} é não negativo e ao elevar ao quadrado obtemos x y. A igualdade acima vem de observar que ambos os lados são números não negativos cujo quadrado é xy, logo são iguais.

Passo 3

Antes de aplicar a propriedade, é preciso checar que os radicandos são não negativos, ou seja, que \sqrt{2}-1\ge 0 e \sqrt{2}+1\ge 0.
  • Para \sqrt{2}+1 fica claro que é positivo porque \sqrt{2}>0, então \sqrt{2}+1>0.
  • Para \sqrt{2}-1 note que 1^2=1<2, logo \sqrt{2}>1. Portanto \sqrt{2}-1>0.
    Conclusão: ambos os radicandos são positivos, podemos aplicar a propriedade do passo anterior.

Passo 4

Aplicando a propriedade \sqrt{x}\sqrt{y}=\sqrt{xy} aos nossos termos, obtemos
\sqrt{\sqrt{2}-1}\;\sqrt{\sqrt{2}+1}=\sqrt{\bigl(\sqrt{2}-1\bigr)\bigl(\sqrt{2}+1\bigr)}.

Passo 5

Agora use a identidade algébrica conhecida como diferença de quadrados:
(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}.
Aqui tomamos a=\sqrt{2} e b=1. Aplicando a identidade temos
\bigl(\sqrt{2}-1\bigr)\bigl(\sqrt{2}+1\bigr)=(\sqrt{2})^{2}-1^{2}.

Passo 6

Calcule os quadrados no lado direito:
(\sqrt{2})^{2}=2\quad\text{e}\quad 1^{2}=1,
logo
(\sqrt{2})^{2}-1^{2}=2-1=1.

Passo 7

Voltando à raiz do passo 4, agora sabemos que o produto dentro da raiz vale 1. Assim
\sqrt{\bigl(\sqrt{2}-1\bigr)\bigl(\sqrt{2}+1\bigr)}=\sqrt{1}=1.
Comentário amigo: deu bem simples no final — às vezes essas identidades salvam tempo na prova. Você conseguiu!

Resposta

1

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