Exercício 8 Calcule g^{\prime}(x) onde g(x) é igual a
\frac{4}{x}+\frac{5}{\sqrt{x}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
g(x)=\frac{4}{x}+\frac{5}{\sqrt{x}}
O conteúdo da matéria aqui é a regra de potência para derivadas, que diz que
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1}
e a derivada de uma constante vezes uma função é a constante vezes a derivada da função.

Passo 2

Para usar a regra de potência, é mais fácil reescrever g(x) com expoentes:
g(x)=4\,x^{-1}+5\,x^{-\tfrac12}

Passo 3

Aplicamos a derivada termo a termo usando a regra de potência e a linearidade:
se \displaystyle h(x)=c\,x^{n}, então
h'(x)=c\cdot n\,x^{n-1}.

Passo 4

Derivando cada termo de g(x):
o primeiro termo 4\,x^{-1} gera
4\cdot(-1)\,x^{-1-1}=-4\,x^{-2},
o segundo termo 5\,x^{-\tfrac12} gera
5\cdot\bigl(-\tfrac12\bigr)\,x^{-\tfrac12-1}=-\frac{5}{2}\,x^{-\tfrac32}.
Somando resultados,
g'(x)=-4\,x^{-2}-\frac{5}{2}\,x^{-\tfrac32}.

Resposta

g'(x)=-\frac{4}{x^{2}}-\frac{5}{2\,x^{3/2}}.

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