Exercício 8 Calcule g^{\prime}(x) onde g(x) é igual a
\frac{x+1}{x \ln x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
g(x)=\frac{x+1}{x\ln x}
para x>0, x\neq1. Vamos usar a regra do quociente, que diz: se
g(x)=\frac{u(x)}{v(x)},
então
g'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^2}.

Passo 2

Identificamos
u(x)=x+1 \quad\text{e}\quad v(x)=x\ln x.
Derivando o numerador,
u'(x)=\frac{d}{dx}(x+1)=1.

Passo 3

Para derivar v(x)=x\ln x usamos a regra do produto. Se v(x)=x\cdot\ln x, então
v'(x)=1\cdot\ln x + x\cdot\frac{1}{x}=\ln x +1.

Passo 4

Aplicando a regra do quociente:
g'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^2} =\frac{1\cdot(x\ln x)-(x+1)\cdot(\ln x+1)}{(x\ln x)^2}.

Passo 5

Agora simplificamos o numerador:
x\ln x - (x+1)(\ln x+1) = x\ln x -\bigl(x\ln x +\ln x +x+1\bigr) = -\ln x -x -1 = -\bigl(x+\ln x+1\bigr).
E como (x\ln x)^2 = x^2\ln^2 x, temos finalmente
g'(x) =-\frac{x+\ln x+1}{x^2\ln^2 x}.

Resposta

g'(x)=-\frac{x+\ln x+1}{x^2\ln^2 x}.

Exercícios relacionados