Exercício 8 Calcule g^{\prime}(x) onde g(x) é igual a
17 x^{19}+13 \sqrt[3]{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
g(x)=17x^{19}+13\sqrt[3]{x}=17x^{19}+13x^{\tfrac{1}{3}}.
O conteúdo que vamos usar é a regra do poder: se f(x)=x^{n}, então
f'(x)=n\,x^{n-1},
e a linearidade da derivada (derivada de soma e constante).

Passo 2

Derivando o primeiro termo usando a regra do poder com n=19:
\frac{d}{dx}\bigl(17x^{19}\bigr) =17\cdot19\,x^{19-1} =323\,x^{18}.

Passo 3

Derivando o segundo termo usando a regra do poder com n=\tfrac{1}{3}:
\frac{d}{dx}\bigl(13x^{\tfrac{1}{3}}\bigr) =13\cdot\frac{1}{3}\,x^{\tfrac{1}{3}-1} =\frac{13}{3}\,x^{-\tfrac{2}{3}}.

Passo 4

Somando as derivadas dos dois termos, obtemos
g'(x) =323\,x^{18} +\frac{13}{3}\,x^{-\tfrac{2}{3}}.

Resposta

g'(x)=323x^{18}+\frac{13}{3}x^{-\tfrac{2}{3}}.

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