Questão 5. Determine o comprimento de arco das curvas a seguir.
x=1+3 t^2, y=2 t^3 ; 0 <= t <= 1

Passo 1

O enunciado pede para determinar o comprimento de arco da curva paramétrica x=1+3t^2,;y=2t^3 no intervalo 0<= t<=1. O conteúdo aqui é cálculo de comprimento de arco de curva paramétrica, e vamos precisar usar a fórmula S=integrala^braizl(tfracdxdtr)^2+l(tfracdydtr)^2,dt

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas:
dxdt=6t, dydt=6t^2
Substituindo na fórmula do comprimento de arco, temos
S=integral0^1raiz(6t)^2+(6t^2)^2,dt

Passo 3

Simplificamos o integrando:
raiz36t^2+36t^4 =raiz36t^2(1+t^2) =6traiz1+t^2
Assim
S=integral0^1 6traiz1+t^2,dt

Passo 4

Para calcular a integral, usamos a substituição u=1+t^2, então du=2t,dt e quando t=0 temos u=1, quando t=1 temos u=2. Logo:
S=6integral0^1 traiz1+t^2,dt =6cdot12integral1^2raizu,du =3integral1^2u^1/2,du

Passo 5

Agora integramos:
3integral1^2u^1/2,du =3l[tfrac23u^3/2r]1^2 =2l(2^3/2-1r) =2l(2raiz2-1r) =4raiz2-2

Passo 6

Portanto, o comprimento de arco da curva é dado por 4raiz2-2.

Resposta

4\sqrt{2}-2

Exercícios relacionados