Exercício 5. Calcule o gradiente da função (nabla f) no ponto dado:
f(x, y)=x^22+y^22, ponto (1,1)

Passo 1

Estamos com a função f(x,y)=x²/2+y²/2 e queremos o gradiente no ponto (1,1). O gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais de f em relação a x e y, então vamos precisar usar a definição de derivada parcial.

Passo 2

Para achar as derivadas parciais, lembramos que ao derivar em relação a x tratamos y como constante, e vice-versa. Assim,
Derivando em relação a x temos
partial fpartial x=partialpartial xl(x^22+y^22r)=x
Derivando em relação a y temos
partial fpartial y=partialpartial yl(x^22+y^22r)=y

Passo 3

Agora é só substituir o ponto (1,1) nessas derivadas parciais:
Substituindo x=1 e y=1, obtemos
partial fpartial x(1,1)=1,
partial fpartial y(1,1)=1

Resposta

nabla f(1,1)=(1,1)

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