Determine, por Gauss-Jordan, as inversas das matrizes:
A=\left[\begin{array}{cccc} 10 & 9 & 5 & 7 \\\\ 9 & 10 & 6 & 8 \\\\ 5 & 6 & 5 & 7 \\\\ 7 & 8 & 7 & 10 \end{array}\right]
e
B=\left[\begin{array}{llll} 2 & 1 & 0 & 0 \\\\ 1 & 2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes quadradas 4\times4 e pede suas inversas (usar Gauss–Jordan). As matrizes são:
A=\begin{pmatrix} 10 & 9 & 5 & 7 \\\\ 9 & 10 & 6 & 8 \\\\ 5 & 6 & 5 & 7 \\\\ 7 & 8 & 7 & 10 \end{pmatrix}
B=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 \\\\ 1 & 2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}
Pediram: determinar \;A^{-1}\; e \;B^{-1}\;. Todas as entradas das inversas devem vir da operação de redução por Gauss–Jordan sobre a matriz aumentada [M\mid I], onde M é A ou B e I é a identidade 4\times4.

Passo 2

Rápida aula do método (para a prova): Gauss–Jordan consiste em montar a matriz aumentada [M\mid I] e aplicar operações elementares de linha até transformar a parte esquerda em I. As mesmas operações aplicadas à direita transformam I em M^{-1}. Operações elementares permitidas:
  • trocar duas linhas;
  • multiplicar uma linha por um escalar não nulo;
  • somar a um linha um múltiplo de outra.
A estratégia prática: escolho um pivô por coluna, reduzo a coluna a forma com 1 no pivô e zeros abaixo/acima, e sigo para a próxima coluna. Vou mostrar passo a passo para A e depois para B. Vou escrever as linhas após operações e explicar cada operação usada.

Passo 3

Começo com A. Matriz aumentada inicial [A\mid I]:
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 10 & 9 & 5 & 7 & 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 9 & 10 & 6 & 8 & 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 5 & 6 & 5 & 7 & 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 7 & 8 & 7 & 10 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]
Vou zerar os elementos da coluna 1 abaixo de a_{11}=10 usando combinações com a linha 1.
Operações:
R_2 \leftarrow R_2 - \tfrac{9}{10}R_1,\quad R_3 \leftarrow R_3 - \tfrac{1}{2}R_1,\quad R_4 \leftarrow R_4 - \tfrac{7}{10}R_1.
Resultado:
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 10 & 9 & 5 & 7 & 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & \tfrac{19}{10} & \tfrac{3}{2} & \tfrac{17}{10} & -\tfrac{9}{10} & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & \tfrac{3}{2} & \tfrac{5}{2} & \tfrac{7}{2} & -\tfrac{1}{2} & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & \tfrac{17}{10} & \tfrac{7}{2} & \tfrac{51}{10} & -\tfrac{7}{10} & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]
Expliquei: cada entrada da linha resultante é a entrada original menos o múltiplo correspondente da linha 1; mesmo para a parte direita (o bloco que era I).]

Passo 4

Agora trato a coluna 2. Para facilitar, troquei R_2 com R_3 (porque \tfrac{3}{2} é um pivô simples). Então:
R_2 \leftrightarrow R_3.
Em seguida normalizo R_2 (multiplicando por \tfrac{2}{3}) para ter pivô igual a 1:
R_2 \leftarrow \tfrac{2}{3}R_2 = [0,1,\tfrac{5}{3},\tfrac{7}{3}\mid -\tfrac{1}{3},0,\tfrac{2}{3},0].
Agora zerei as entradas da coluna 2 em R_1,R_3,R_4 com:
R_1 \leftarrow R_1 - 9R_2,\quad R_3 \leftarrow R_3 - \tfrac{19}{10}R_2,\quad R_4 \leftarrow R_4 - \tfrac{17}{10}R_2.
Resultado após essas operações:
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 10 & 0 & -10 & -14 & \tfrac{28}{5} & -6 & \tfrac{8}{5} & 0\\[4pt] 0 & 1 & \tfrac{5}{3} & \tfrac{7}{3} & -\tfrac{1}{3} & 0 & \tfrac{2}{3} & 0\\[4pt] 0 & 0 & -\tfrac{5}{3} & -\tfrac{41}{15} & -\tfrac{4}{15} & 1 & -\tfrac{19}{15} & 0\\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{2}{3} & \tfrac{17}{15} & -\tfrac{2}{15} & 0 & -\tfrac{17}{15} & 1 \end{array}\right]
Note como os coeficientes da esquerda vão ficando em forma triangular superior conforme eliminamos.]

Passo 5

Agora coluna 3. Tomo R_3 como linha pivô (tem -\tfrac{5}{3} que é conveniente). Normalizo R_3:
R_3 \leftarrow \left(-\tfrac{3}{5}\right)R_3 = [0,0,1,\tfrac{41}{25}\mid \tfrac{4}{25},-\tfrac{3}{5},\tfrac{19}{25},0].
Depois zerei a coluna 3 em R_1,R_2,R_4:
R_1 \leftarrow R_1 + 10R_3,\quad R_2 \leftarrow R_2 - \tfrac{5}{3}R_3,\quad R_4 \leftarrow R_4 - \tfrac{2}{3}R_3.
Resultado:
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 10 & 0 & 0 & \tfrac{12}{5} & \tfrac{28}{5} & -6 & \tfrac{8}{5} & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -\tfrac{2}{5} & -\tfrac{3}{5} & 1 & -\tfrac{3}{5} & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & \tfrac{41}{25} & \tfrac{4}{25} & -\tfrac{3}{5} & \tfrac{19}{25} & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & \tfrac{1}{25} & -\tfrac{6}{25} & \tfrac{2}{5} & -\tfrac{41}{25} & 1 \end{array}\right]
Observe que R_4 na coluna 3 já ficou zero; resta tratar a coluna 4.]

Passo 6

Coluna 4: R_4 tem \tfrac{1}{25} na posição (4,4). Normalizo multiplicando por 25:
R_4 \leftarrow 25R_4 = [0,0,0,1\mid -6,10,-41,25].
Agora zerei a coluna 4 nas outras linhas:
R_1 \leftarrow R_1 - \tfrac{12}{5}R_4,\quad R_2 \leftarrow R_2 + \tfrac{2}{5}R_4,\quad R_3 \leftarrow R_3 - \tfrac{41}{25}R_4.
Após essas operações obtemos a parte esquerda igual a identidade (antes de normalizar a primeira linha):
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 10 & 0 & 0 & 0 & 20 & -30 & 100 & -60\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0 & -3 & 5 & -17 & 10\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & 10 & -17 & 68 & -41\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & -6 & 10 & -41 & 25 \end{array}\right]
Finalmente normalizo R_1 dividindo por 10:
R_1 \leftarrow \tfrac{1}{10}R_1 = [1,0,0,0\mid 2,-3,10,-6].]

Passo 7

Agora a parte esquerda é exatamente I_4. A parte direita é A^{-1}. Portanto
A^{-1}=\begin{pmatrix} 2 & -3 & 10 & -6\\[4pt] -3 & 5 & -17 & 10\\[4pt] 10 & -17 & 68 & -41\\[4pt] -6 & 10 & -41 & 25 \end{pmatrix}.
Confirme que é simétrica (esperado porque A é simétrica); isso é um bom cheque rápido contra erros de conta.]

Passo 8

Agora faço B. Montagem inicial da aumentada [B\mid I]:
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 2 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]
Vou aplicar Gauss–Jordan de forma direta, escolhendo pivôs nas diagonais.]

Passo 9

Passos para reduzir B:
  1. Normalizo R_1: R_1 \leftarrow \tfrac{1}{2}R_1 = [1,\tfrac{1}{2},0,0\mid \tfrac{1}{2},0,0,0].
  2. Zero em R_2 coluna 1: R_2 \leftarrow R_2 - R_1 = [0,\tfrac{3}{2},1,0\mid -\tfrac{1}{2},1,0,0].
  3. Normalizo R_2: R_2 \leftarrow \tfrac{2}{3}R_2 = [0,1,\tfrac{2}{3},0\mid -\tfrac{1}{3},\tfrac{2}{3},0,0].
  4. Zeros coluna 2 em R_1,R_3:
R_1 \leftarrow R_1 - \tfrac{1}{2}R_2,\quad R_3 \leftarrow R_3 - 1\cdot R_2.
Resultando em
R_1=[1,0,-\tfrac{1}{3},0\mid \tfrac{2}{3},-\tfrac{1}{3},0,0],
R_3=[0,0,\tfrac{4}{3},1\mid \tfrac{1}{3},-\tfrac{2}{3},1,0].
  1. Normalizo R_3: R_3 \leftarrow \tfrac{3}{4}R_3 = [0,0,1,\tfrac{3}{4}\mid \tfrac{1}{4},-\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{4},0].
  2. Zeros coluna 3 em R_1,R_2,R_4:
R_1 \leftarrow R_1 + \tfrac{1}{3}R_3,\quad R_2 \leftarrow R_2 - \tfrac{2}{3}R_3,\quad R_4 \leftarrow R_4 - 1\cdot R_3.
Dando
R_1=[1,0,0,\tfrac{1}{4}\mid \tfrac{3}{4},-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{4},0],
R_2=[0,1,0,-\tfrac{1}{2}\mid -\tfrac{1}{2},1,-\tfrac{1}{2},0],
R_4=[0,0,0,\tfrac{5}{4}\mid -\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{2},-\tfrac{3}{4},1].
  1. Normalizo R_4: R_4 \leftarrow \tfrac{4}{5}R_4 = [0,0,0,1\mid -\tfrac{1}{5},\tfrac{2}{5},-\tfrac{3}{5},\tfrac{4}{5}].
  2. Zeros coluna 4 em R_1,R_2,R_3:
R_1 \leftarrow R_1 - \tfrac{1}{4}R_4,\quad R_2 \leftarrow R_2 + \tfrac{1}{2}R_4,\quad R_3 \leftarrow R_3 - \tfrac{3}{4}R_4.
Após essas operações obtemos a identidade à esquerda e, à direita, a matriz inversa.

Passo 10

A parte direita final (que é B^{-1}) é:
B^{-1}=\begin{pmatrix} \tfrac{4}{5} & -\tfrac{3}{5} & \tfrac{2}{5} & -\tfrac{1}{5}\\[4pt] -\tfrac{3}{5} & \tfrac{6}{5} & -\tfrac{4}{5} & \tfrac{2}{5}\\[4pt] \tfrac{2}{5} & -\tfrac{4}{5} & \tfrac{6}{5} & -\tfrac{3}{5}\\[4pt] -\tfrac{1}{5} & \tfrac{2}{5} & -\tfrac{3}{5} & \tfrac{4}{5} \end{pmatrix}.
Novamente é simétrica (coerente com B simétrica); isso também funciona como checagem rápida.]

Resposta

A^{-1}=\begin{pmatrix} 2 & -3 & 10 & -6\\[4pt] -3 & 5 & -17 & 10\\[4pt] 10 & -17 & 68 & -41\\[4pt] -6 & 10 & -41 & 25 \end{pmatrix}
B^{-1}=\begin{pmatrix} \tfrac{4}{5} & -\tfrac{3}{5} & \tfrac{2}{5} & -\tfrac{1}{5}\\[4pt] -\tfrac{3}{5} & \tfrac{6}{5} & -\tfrac{4}{5} & \tfrac{2}{5}\\[4pt] \tfrac{2}{5} & -\tfrac{4}{5} & \tfrac{6}{5} & -\tfrac{3}{5}\\[4pt] -\tfrac{1}{5} & \tfrac{2}{5} & -\tfrac{3}{5} & \tfrac{4}{5} \end{pmatrix}

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