Exercício 8.1.1. Calcule \iint f(x, y) d x d y sendo dados:
f(x, y)=\frac{1}{\ln (y)} e B=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: 2 \leq y \leq 3,0 \leq x \leq \frac{1}{y}\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla da função f(x,y)=\frac{1}{\ln(y)} sobre a região
B=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : 2\le y\le 3,\;0\le x\le \frac{1}{y}\right\}.
Informações importantes dadas:
  • A função é f(x,y)=\dfrac{1}{\ln(y)}.
  • A região B é especificada por 2\le y\le 3 e, para cada y nesse intervalo, 0\le x\le \dfrac{1}{y}.
    A pergunta é: calcular \iint_B f(x,y)\,dx\,dy.

Passo 2

Verificação e justificativa do método de integração:
  • Note que, para y\in[2,3], temos \ln(y)>0, logo \dfrac{1}{\ln(y)} é bem definida e contínua em B.
  • Como f é contínua em uma região limitada, podemos usar o Teorema de Fubini e calcular a integral dupla como uma integral iterada. Aqui a região está dada naturalmente como varrendo y de 2 a 3 e, para cada y, x vai de 0 a 1/y. Portanto escolhemos a ordem dx primeiro, depois dy.
  • Montamos a integral iterada:
\iint_{B} \frac{1}{\ln(y)}\,dx\,dy = \int_{y=2}^{3}\left(\int_{x=0}^{1/y}\frac{1}{\ln(y)}\,dx\right)dy.

Passo 3

Cálculo da integral interna (em x):
  • A integranda \dfrac{1}{\ln(y)} não depende de x, então a integral em x é simplesmente o valor multiplicado pelo comprimento do intervalo em x:
\int_{x=0}^{1/y}\frac{1}{\ln(y)}\,dx = \frac{1}{\ln(y)}\cdot\left(\frac{1}{y}-0\right)=\frac{1}{y\ln(y)}.
  • Assim a integral dupla reduz-se à integral em y:
\iint_{B} \frac{1}{\ln(y)}\,dx\,dy = \int_{2}^{3}\frac{1}{y\ln(y)}\,dy.

Passo 4

Cálculo da integral em y por substituição:
  • Para integrar \int_{2}^{3}\dfrac{1}{y\ln(y)}\,dy, fazemos a substituição natural que simplifica essa forma. Defina
u=\ln(y).
  • Diferenciando, obtemos du=\dfrac{1}{y}\,dy, ou seja \dfrac{1}{y}\,dy=du. Isso transforma a integral de forma direta.
  • Quando y=2, temos u=\ln(2). Quando y=3, temos u=\ln(3).
  • Substituindo na integral:
\int_{2}^{3}\frac{1}{y\ln(y)}\,dy = \int_{u=\ln(2)}^{\ln(3)} \frac{1}{u}\,du.
  • A primitiva de \dfrac{1}{u} é \ln|u|. Como u>0 aqui, obtemos
\int_{\ln(2)}^{\ln(3)}\frac{1}{u}\,du = \left.\ln(u)\right|_{u=\ln(2)}^{u=\ln(3)} = \ln(\ln(3)) - \ln(\ln(2)).

Passo 5

Expressão final e forma simplificada:
  • Podemos escrever a diferença de logaritmos como o logaritmo do quociente:
\ln(\ln(3)) - \ln(\ln(2)) = \ln\!\left(\frac{\ln(3)}{\ln(2)}\right).
  • Como \ln(3)>\ln(2)>0, o resultado é positivo. Isso também serve como checagem rápida de coerência.

Resposta

\displaystyle \ln\!\left(\frac{\ln 3}{\ln 2}\right)

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