Exercício 8.1.1. Calcule
sendo dados:
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla da função
sobre a região
Informações importantes dadas:
- A função é
. - A região
é especificada por e, para cada nesse intervalo, .
A pergunta é: calcular.
Passo 2
Verificação e justificativa do método de integração:
- Note que, para
, temos , logo é bem definida e contínua em . - Como
é contínua em uma região limitada, podemos usar o Teorema de Fubini e calcular a integral dupla como uma integral iterada. Aqui a região está dada naturalmente como varrendo de a e, para cada , vai de a . Portanto escolhemos a ordem primeiro, depois . - Montamos a integral iterada:
Passo 3
Cálculo da integral interna (em
):
- A integranda
não depende de , então a integral em é simplesmente o valor multiplicado pelo comprimento do intervalo em :
- Assim a integral dupla reduz-se à integral em
:
Passo 4
Cálculo da integral em
por substituição:
- Para integrar
, fazemos a substituição natural que simplifica essa forma. Defina
- Diferenciando, obtemos
, ou seja . Isso transforma a integral de forma direta. - Quando
, temos . Quando , temos . - Substituindo na integral:
- A primitiva de
é . Como aqui, obtemos
Passo 5
Expressão final e forma simplificada:
- Podemos escrever a diferença de logaritmos como o logaritmo do quociente:
- Como
, o resultado é positivo. Isso também serve como checagem rápida de coerência.