Questão 3. (3.0 pontos). Resolva o problema de valor inicial
\left\{\begin{array}{c} \frac{d y}{d x}-7 y=0 \\\ y(0)=2 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá uma equação diferencial com condição inicial. Informações fornecidas:
\begin{cases} \displaystyle \frac{d y}{d x}-7 y=0,\\[6pt] y(0)=2. \end{cases}
Pergunta: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.]

Passo 2

Vamos rearranjar a equação para ver claramente o que é dado. Somando 7y em ambos os lados obtemos
\frac{d y}{d x}=7y.
Aqui a variável dependente é y (função de x) e a independente é x. Note que a expressão está na forma em que o lado direito é uma função só de y multiplicada por uma função só de x (neste caso uma constante). Isso permite usar o método de separação de variáveis, que é simples e direto: colocar todos os termos com y de um lado e os com x do outro. Escolhemos esse método porque é o mais básico e rápido para equações do tipo \dfrac{dy}{dx}=k\,y com k constante.

Passo 3

Aplicando separação de variáveis: dividimos ambos os lados por y (isso exige y\neq0; a solução y\equiv0 também existe, mas não satisfaz y(0)=2, então não nos interessa aqui). Obtemos
\frac{1}{y}\,\frac{dy}{dx}=7.
Agora escrevemos em forma de diferenciais separadas:
\frac{1}{y}\,dy=7\,dx.
Isto significa que a integral indefinida de \dfrac{1}{y}\,dy deve ser igual à integral de 7\,dx, mais uma constante de integração.

Passo 4

Integramos ambos os lados. A regra básica usada é \displaystyle\int\frac{1}{y}\,dy=\ln|y|+C e \displaystyle\int 7\,dx=7x+C. Então
\int \frac{1}{y}\,dy=\int 7\,dx
implica
\ln|y|=7x+C,
onde C é constante de integração. Expliquei: \ln|y| aparece por causa da integral de 1/y; o valor absoluto aparece porque logaritmo natural exige argumento positivo.

Passo 5

Isolamos y exponenciando ambos os lados. Aplicando a função exponencial:
|y|=e^{7x+C}=e^{C}e^{7x}.
Como e^{C} é uma constante positiva, chamamos essa constante de A>0 e obtemos |y|=A e^{7x}. Isso dá y=\pm A e^{7x}, ou de forma mais compacta
y(x)=K e^{7x},
onde K é uma constante real (pode ser positiva, negativa ou zero). Essa é a forma geral da solução da equação diferencial.

Passo 6

Agora aplicamos a condição inicial y(0)=2. Substituindo x=0 na solução geral:
y(0)=K e^{0}=K.
Como y(0)=2, temos K=2. Portanto a solução particular que satisfaz a condição inicial é
y(x)=2e^{7x}.

Passo 7

Verificação rápida (boa prática em prova): calcular \dfrac{dy}{dx} para a solução encontrada e conferir que satisfaz a equação original. Derivando,
\frac{d y}{d x}=2\cdot 7 e^{7x}=14 e^{7x}.
Substituindo em \dfrac{dy}{dx}-7y:
14 e^{7x}-7\cdot(2 e^{7x})=14 e^{7x}-14 e^{7x}=0,
logo a equação é satisfeita, e também a condição inicial y(0)=2 é satisfeita.

Passo 8

Dica final (memorização útil para a prova): para a equação \dfrac{dy}{dx}=k y com k constante, a solução geral é \displaystyle y(x)=C e^{kx}. No nosso caso k=7 e C=2.

Resposta

y(x)=2e^{7x}

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