QUESTÃO 28
Uma empresa de embalagens produz caixas no formato de paralelepípedos. Essas caixas têm a seguinte característica: a largura mede 1 unidade a mais que o comprimento, e a altura mede 1 unidade a mais que a largura. O quanto será gasto de material para produzi-las vai depender da área da caixa, ou seja, dependerá do tamanho da caixa que o cliente encomendará. Assinale a alternativa que contém a área da caixa, quando um cliente solicita uma caixa de comprimento
:
A)
B)
C)
D)
E)
A)
B)
C)
D)
E)
Passo 1
O enunciado pede a área (quanto de material será gasto) de uma caixa em formato de paralelepípedo quando o cliente solicita comprimento
. As informações dadas são:
- comprimento
; - largura mede 1 unidade a mais que o comprimento, logo largura
; - altura mede 1 unidade a mais que a largura, logo altura
.
A tarefa é encontrar a expressão algébrica que representa a área total da caixa em função de.
Passo 2
Primeiro, vou explicar o que se entende por “área da caixa” aqui: é a área da superfície externa do paralelepípedo (também chamada de área total). Um paralelepípedo retângulo tem 6 faces, formadas por pares de retângulos congruentes. Se chamarmos comprimento de
, largura de
e altura de
, as áreas dos três tipos de faces são:
Como cada face aparece em duas cópias (parte da frente e de trás, por exemplo), a área total
é dada por:
Aqui eu explicitei o porquê do fator 2: cada produto corresponde a uma face e há outra face igual do lado oposto.
Passo 3
Agora substituímos as medidas do enunciado nas notações acima. Tomando
,
e
, vamos calcular cada produto que aparece na fórmula:
Passo 4
Desenvolvendo cada um desses produtos passo a passo (explicando a distribuição):
Em cada passo eu multipliquei termo a termo (distributiva), somando os resultados.
Passo 5
Somamos agora os três valores obtidos dentro do parêntese da fórmula da área:
Agrupando termos semelhantes (os
, os
e os termos constantes):
Aqui somei coeficiente a coeficiente:
para os
e
para os
.
Passo 6
Finalmente aplicamos o fator 2 da fórmula da área total:
Multiplicando cada termo por 2:
Isso é a expressão que dá a área total da caixa em função do comprimento
.
Resposta
E)