QUESTÃO 28

Uma empresa de embalagens produz caixas no formato de paralelepípedos. Essas caixas têm a seguinte característica: a largura mede 1 unidade a mais que o comprimento, e a altura mede 1 unidade a mais que a largura. O quanto será gasto de material para produzi-las vai depender da área da caixa, ou seja, dependerá do tamanho da caixa que o cliente encomendará. Assinale a alternativa que contém a área da caixa, quando um cliente solicita uma caixa de comprimento x :
A) 3 x^{2}
B) 6 x^{2}
C) 3 x^{2}+6 x+2
D) 6 x^{2}+8 x+2
E) 6 x^{2}+12 x+4

Passo 1

O enunciado pede a área (quanto de material será gasto) de uma caixa em formato de paralelepípedo quando o cliente solicita comprimento x. As informações dadas são:
  • comprimento = x;
  • largura mede 1 unidade a mais que o comprimento, logo largura = x+1;
  • altura mede 1 unidade a mais que a largura, logo altura = x+2.
    A tarefa é encontrar a expressão algébrica que representa a área total da caixa em função de x.

Passo 2

Primeiro, vou explicar o que se entende por “área da caixa” aqui: é a área da superfície externa do paralelepípedo (também chamada de área total). Um paralelepípedo retângulo tem 6 faces, formadas por pares de retângulos congruentes. Se chamarmos comprimento de l, largura de w e altura de h, as áreas dos três tipos de faces são:
\text{face 1: } l\cdot w,\qquad \text{face 2: } l\cdot h,\qquad \text{face 3: } w\cdot h.
Como cada face aparece em duas cópias (parte da frente e de trás, por exemplo), a área total A é dada por:
A = 2\big(lw + lh + wh\big).
Aqui eu explicitei o porquê do fator 2: cada produto corresponde a uma face e há outra face igual do lado oposto.

Passo 3

Agora substituímos as medidas do enunciado nas notações acima. Tomando l=x, w=x+1 e h=x+2, vamos calcular cada produto que aparece na fórmula:
lw = x(x+1),\qquad lh = x(x+2),\qquad wh = (x+1)(x+2).

Passo 4

Desenvolvendo cada um desses produtos passo a passo (explicando a distribuição):
lw = x(x+1)=x\cdot x + x\cdot 1 = x^{2}+x.
lh = x(x+2)=x\cdot x + x\cdot 2 = x^{2}+2x.
wh = (x+1)(x+2)=x\cdot x + x\cdot 2 + 1\cdot x + 1\cdot 2 = x^{2}+2x+x+2 = x^{2}+3x+2.
Em cada passo eu multipliquei termo a termo (distributiva), somando os resultados.

Passo 5

Somamos agora os três valores obtidos dentro do parêntese da fórmula da área:
lw + lh + wh = (x^{2}+x) + (x^{2}+2x) + (x^{2}+3x+2).
Agrupando termos semelhantes (os x^{2}, os x e os termos constantes):
lw + lh + wh = (x^{2}+x^{2}+x^{2}) + (x+2x+3x) + 2 = 3x^{2} + 6x + 2.
Aqui somei coeficiente a coeficiente: 1+1+1=3 para os x^{2} e 1+2+3=6 para os x.

Passo 6

Finalmente aplicamos o fator 2 da fórmula da área total:
A = 2\big(lw + lh + wh\big) = 2\big(3x^{2} + 6x + 2\big).
Multiplicando cada termo por 2:
A = 6x^{2} + 12x + 4.
Isso é a expressão que dá a área total da caixa em função do comprimento x.

Resposta

E) 6x^{2}+12x+4

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