Resolva as seguintes equações, explicitando a solução (quando possível):
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Informações e observações que o enunciado dá:
- A incógnita é a função
. - A derivada é em relação a
: . - O lado direito tem divisão por
; portanto a expressão não está definida quando . - O lado direito também tem fator
no denominador; isso anula quando , ou seja, em . Nesses pontos a equação também não está definida. - Não foi dada condição inicial; portanto vamos encontrar a solução geral com uma constante arbitrária.
Passo 2
Estratégia: esta é uma equação separável (podemos escrever termos em
de um lado e termos em
do outro). Vou explicar o método de separação de variáveis de forma bem direta: se temos uma equação da forma
podemos rearranjar para
e integrar ambos os lados. Isso é válido em intervalos onde
e
são bem comportadas (não nulas no denominador, etc.). Aqui temos
e
(pois
com
). Então vamos separar as variáveis: multiplicando ambos os lados por
(válido enquanto
) obtemos
Passo 3
Agora integramos ambos os lados. Vou mostrar passo a passo cada integral.
Esquerda:
Aqui usei a regra básica
.
Direita:
Para essa integral fazemos a substituição clássica
. Então
, ou seja
. Substituindo,
Voltando à variável
(lembre que
), obtemos
Passo 4
Igualando as duas integrais (podemos juntar as constantes
e
em uma única constante
):
Multiplicando por
:
onde
é uma constante arbitrária real. Agora resolvemos para
extraindo a raiz quadrada:
Explicações importantes sobre domínio e sinais:
- A solução só faz sentido onde o radicando é não-negativo:
Isso determina para quais
a solução real existe, dependendo do valor de
.
- A equação original não está definida em
(pois ali), então não podemos incluir no domínio da solução. Devemos trabalhar em intervalos que não contenham . - A escolha do sinal
pode ser fixada por uma condição inicial, caso haja uma. Em um mesmo intervalo conectado (sem passar por pontos onde a expressão fica indefinida) a solução escolherá um dos sinais conforme a condição inicial. - A função
não é solução, porque substituindo no lado direito o termo é indefinido.
Passo 5
Como usar uma condição inicial (caso você tenha na prova): se você souber
com
e
, então substitua esses valores em
e resolva para
:
Depois coloque esse
na expressão e escolha o sinal compatível com
(se
pega
, se
pega
).
Exemplo rápido: se
e
, então
, logo
e a solução fica
com o sinal escolhido de acordo com
.