Resolva as seguintes equações, explicitando a solução (quando possível):
y^{\prime}=\frac{t^{2}}{y\left(1+t^{3}\right)}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y'=\frac{t^{2}}{y\left(1+t^{3}\right)}.
Informações e observações que o enunciado dá:
  • A incógnita é a função y(t).
  • A derivada é em relação a t: y'=\dfrac{dy}{dt}.
  • O lado direito tem divisão por y; portanto a expressão não está definida quando y=0.
  • O lado direito também tem fator 1+t^{3} no denominador; isso anula quando t^{3}=-1, ou seja, em t=-1. Nesses pontos a equação também não está definida.
  • Não foi dada condição inicial; portanto vamos encontrar a solução geral com uma constante arbitrária.

Passo 2

Estratégia: esta é uma equação separável (podemos escrever termos em y de um lado e termos em t do outro). Vou explicar o método de separação de variáveis de forma bem direta: se temos uma equação da forma
\frac{dy}{dt}=F(t)\,G(y),
podemos rearranjar para
\frac{1}{G(y)}\,dy = F(t)\,dt,
e integrar ambos os lados. Isso é válido em intervalos onde G(y) e F(t) são bem comportadas (não nulas no denominador, etc.). Aqui temos F(t)=\dfrac{t^{2}}{1+t^{3}} e G(y)=\dfrac{1}{y} (pois \dfrac{t^{2}}{y(1+t^{3})}=F(t)\,G(y) com G(y)=1/y). Então vamos separar as variáveis: multiplicando ambos os lados por y\,dt (válido enquanto y\neq0) obtemos
y\,dy=\frac{t^{2}}{1+t^{3}}\,dt.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados. Vou mostrar passo a passo cada integral.
Esquerda:
\int y\,dy = \frac{1}{2}y^{2} + C_{1}.
Aqui usei a regra básica \int y\,dy = y^{2}/2.
Direita:
\int \frac{t^{2}}{1+t^{3}}\,dt.
Para essa integral fazemos a substituição clássica u=1+t^{3}. Então du = 3t^{2}\,dt, ou seja t^{2}\,dt = \dfrac{1}{3}\,du. Substituindo,
\int \frac{t^{2}}{1+t^{3}}\,dt = \int \frac{1}{u}\cdot\frac{1}{3}\,du = \frac{1}{3}\int \frac{1}{u}\,du = \frac{1}{3}\ln|u| + C_{2}.
Voltando à variável t (lembre que u=1+t^{3}), obtemos
\int \frac{t^{2}}{1+t^{3}}\,dt = \frac{1}{3}\ln|1+t^{3}| + C_{2}.

Passo 4

Igualando as duas integrais (podemos juntar as constantes C_{1} e C_{2} em uma única constante C):
\frac{1}{2}y^{2} = \frac{1}{3}\ln|1+t^{3}| + C.
Multiplicando por 2:
y^{2} = \frac{2}{3}\ln|1+t^{3}| + C',
onde C'=2C é uma constante arbitrária real. Agora resolvemos para y extraindo a raiz quadrada:
y(t)=\pm\sqrt{\frac{2}{3}\ln|1+t^{3}| + C'}.
Explicações importantes sobre domínio e sinais:
  • A solução só faz sentido onde o radicando é não-negativo:
\frac{2}{3}\ln|1+t^{3}| + C' \ge 0.
Isso determina para quais t a solução real existe, dependendo do valor de C'.
  • A equação original não está definida em t=-1 (pois 1+t^{3}=0 ali), então não podemos incluir t=-1 no domínio da solução. Devemos trabalhar em intervalos que não contenham t=-1.
  • A escolha do sinal \pm pode ser fixada por uma condição inicial, caso haja uma. Em um mesmo intervalo conectado (sem passar por pontos onde a expressão fica indefinida) a solução escolherá um dos sinais conforme a condição inicial.
  • A função y\equiv 0 não é solução, porque substituindo y=0 no lado direito o termo 1/y é indefinido.

Passo 5

Como usar uma condição inicial (caso você tenha na prova): se você souber y(t_{0})=y_{0} com t_{0}\neq -1 e y_{0}\neq 0, então substitua esses valores em
y_{0}^{2}=\frac{2}{3}\ln|1+t_{0}^{3}| + C'
e resolva para C':
C' = y_{0}^{2} - \frac{2}{3}\ln|1+t_{0}^{3}|.
Depois coloque esse C' na expressão e escolha o sinal compatível com y_{0} (se y_{0}>0 pega +, se y_{0}<0 pega -).
Exemplo rápido: se t_{0}=0 e y(0)=y_{0}, então \ln|1+0^{3}|=\ln 1=0, logo C'=y_{0}^{2} e a solução fica
y(t)=\pm\sqrt{\frac{2}{3}\ln|1+t^{3}| + y_{0}^{2}},
com o sinal escolhido de acordo com y_{0}.

Resposta

y(t)=\pm\sqrt{\dfrac{2}{3}\ln|1+t^{3}| + C},\; C\in\mathbb{R}, definida para t\neq -1 e onde o radicando é não-negativo.\n

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