Exercício 8.1.1. Calcule
sendo dados:
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla da função
sobre a região
Informações dadas:
A única coisa pedida é calcular
.
Passo 2
Vamos entender a região
. As curvas que limitam
são a parábola
e a reta horizontal
. A interseção entre elas satisfaz
, ou seja
. Como a condição também exige
, o intervalo de
relevante é
Para cada
nessa faixa,
varia de
até
. Conclusão útil para montar a integral iterada:
Passo 3
Montamos a integral iterada escolhendo integrar primeiro em
(porque os limites em
são funções simples de
). Assim:
Aqui, para a integral interna em
,
é tratado como constante.
Passo 4
Calcule a integral interna
. Como
é constante em relação a
,
pois a primitiva de
é
. Avaliando entre
e
,
Usando
, obtemos
Passo 5
Agora a integral fica
Para resolver essa integral, usamos a substituição
. Então
, isto é
. Os limites em
são: quando
temos
; quando
temos
. Assim a integral transforma-se em
Passo 6
Calcule
. Uma primitiva de
é
, logo
Sabemos
e
, então
Voltando ao fator
, obtemos
Passo 7
Concluímos que a integral dupla vale
. Um comentário rápido para fixar: o sinal negativo apareceu porque a integral interna produziu
e a integral de
no intervalo
é positiva, resultando em valor negativo no final. Força aí — deu trabalho, mas a conta fecha certinho!