Exercício 8.1.1. Calcule \iint f(x, y) d x d y sendo dados:
f(x, y)=x \cos (y) e B=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x \geq 0, x^{2} \leq y \leq \pi\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla da função f(x,y)=x\cos(y) sobre a região
B=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x\ge 0,\; x^{2}\le y\le \pi\}.
Informações dadas:
\text{função: } f(x,y)=x\cos(y).çã
\text{região: } x\ge 0 \quad\text{e}\quad x^{2}\le y\le \pi.ã
A única coisa pedida é calcular \iint_{B} f(x,y)\,dx\,dy.

Passo 2

Vamos entender a região B. As curvas que limitam B são a parábola y=x^{2} e a reta horizontal y=\pi. A interseção entre elas satisfaz x^{2}=\pi, ou seja x=\pm\sqrt{\pi}. Como a condição também exige x\ge 0, o intervalo de x relevante é
0\le x\le \sqrt{\pi}.
Para cada x nessa faixa, y varia de y=x^{2} até y=\pi. Conclusão útil para montar a integral iterada:
0\le x\le \sqrt{\pi},\qquad x^{2}\le y\le \pi.

Passo 3

Montamos a integral iterada escolhendo integrar primeiro em y (porque os limites em y são funções simples de x). Assim:
\iint_{B} x\cos(y)\,dx\,dy = \int_{x=0}^{\sqrt{\pi}}\left(\int_{y=x^{2}}^{\pi} x\cos(y)\,dy\right)dx.
Aqui, para a integral interna em y, x é tratado como constante.

Passo 4

Calcule a integral interna \displaystyle\int_{y=x^{2}}^{\pi} x\cos(y)\,dy. Como x é constante em relação a y,
\int x\cos(y)\,dy = x\int \cos(y)\,dy = x\sin(y)+C,
pois a primitiva de \cos(y) é \sin(y). Avaliando entre y=x^{2} e y=\pi,
\int_{y=x^{2}}^{\pi} x\cos(y)\,dy = x\bigl(\sin(\pi)-\sin(x^{2})\bigr).
Usando \sin(\pi)=0, obtemos
\int_{y=x^{2}}^{\pi} x\cos(y)\,dy = -\,x\sin(x^{2}).

Passo 5

Agora a integral fica
\int_{0}^{\sqrt{\pi}} -\,x\sin(x^{2})\,dx.
Para resolver essa integral, usamos a substituição u=x^{2}. Então du=2x\,dx, isto é x\,dx=\dfrac{du}{2}. Os limites em u são: quando x=0 temos u=0; quando x=\sqrt{\pi} temos u=\pi. Assim a integral transforma-se em
\int_{0}^{\sqrt{\pi}} -\,x\sin(x^{2})\,dx = -\frac{1}{2}\int_{u=0}^{\pi}\sin(u)\,du.

Passo 6

Calcule \displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin(u)\,du. Uma primitiva de \sin(u) é -\cos(u), logo
\int_{0}^{\pi}\sin(u)\,du = \bigl[-\cos(u)\bigr]_{0}^{\pi} = -\cos(\pi) + \cos(0).
Sabemos \cos(\pi)=-1 e \cos(0)=1, então
-\cos(\pi)+\cos(0) = -(-1)+1 = 1+1 = 2.
Voltando ao fator -\dfrac{1}{2}, obtemos
-\,\frac{1}{2}\cdot 2 = -1.

Passo 7

Concluímos que a integral dupla vale -1. Um comentário rápido para fixar: o sinal negativo apareceu porque a integral interna produziu -x\sin(x^{2}) e a integral de \sin no intervalo [0,\pi] é positiva, resultando em valor negativo no final. Força aí — deu trabalho, mas a conta fecha certinho!

Resposta

-1

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