Exercício 9. Calcule \int_{C} \vec{F} d r.
\vec{F}(x, y, z)=x \vec{i}+y \vec{j}+z \vec{k}, r(t)=(\cos (t), \operatorname{sen}(t), t), 0 \leq t \leq 2 \pi.

Passo 1

Estamos diante de um problema de integral de linha (ou trabalho) de um campo vetorial. Precisamos calcular
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}
para o campo
\mathbf{F}(x,y,z)=x\,\mathbf{i}+y\,\mathbf{j}+z\,\mathbf{k}
e a curva C parametrizada por
\mathbf{r}(t)=(\cos t,\sin t,t),\quad 0\le t\le 2\pi.
O método é usar a parametrização e a fórmula
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{0}^{2\pi}\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t)\,dt.

Passo 2

Calculemos a derivada da parametrização, que dá o vetor tangente:
\mathbf{r}'(t)=\bigl(-\sin t,\;\cos t,\;1\bigr).

Passo 3

Substituímos \mathbf{r}(t) em \mathbf{F}:
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))=\bigl(\cos t,\;\sin t,\;t\bigr).

Passo 4

Fazemos o produto escalar
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t) =(\cos t)(-\sin t)+(\sin t)(\cos t)+(t)(1) =-\cos t\,\sin t+\sin t\,\cos t+t =t.
Logo a integral vira
\int_{0}^{2\pi}t\,dt.

Passo 5

Basta calcular
\int_{0}^{2\pi}t\,dt =\left[\tfrac12\,t^2\right]_{0}^{2\pi} =\tfrac12\,(2\pi)^2 =2\pi^2.

Resposta

2\pi^2

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