Exercício 6. Determine se F é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função potencial f para F.
F(x, y)=e^{x} \operatorname{sen} y \vec{i}+e^{x} \cos y \vec{j}.

Passo 1

O enunciado dá o campo
F(x,y) = e^{x}\sin y\,\mathbf{i} + e^{x}\cos y\,\mathbf{j}
em \mathbb{R}^2 e pede para verificar se é conservativo (isto é, se existe f tal que \nabla f=F). Como o domínio é simplesmente conexo, basta checar se
\frac{\partial F_{1}}{\partial y} \;=\;\frac{\partial F_{2}}{\partial x}.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais mistas:
\frac{\partial F_{1}}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{x}\sin y\bigr) =e^{x}\cos y,
\frac{\partial F_{2}}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{x}\cos y\bigr) =e^{x}\cos y.
Como \partial F_{1}/\partial y = \partial F_{2}/\partial x, concluímos que F é conservativo.

Passo 3

Para achar a potencial f, integramos
\frac{\partial f}{\partial x} =F_{1}(x,y)=e^{x}\sin y
em relação a x:
f(x,y)=\int e^{x}\sin y\,dx =e^{x}\sin y + C(y).
Agora impomos
\frac{\partial f}{\partial y} =e^{x}\cos y + C'(y) \stackrel{!}{=}F_{2}(x,y)=e^{x}\cos y,
logo C'(y)=0 e C(y) é constante.

Resposta

F é conservativo e uma função potencial é
f(x,y)=e^{x}\sin y + C,
com C constante.

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