Exercício 8. A massa m de um fio de arame com função densidade (linear) \rho é dada por:
m=\int_{C} \rho(x, y) d s
O centro de massa está localizado no ponto de coordenadas
\bar{x}=\frac{1}{m} \int_{C} x \rho(x, y) d s \quad \text { e } \quad \bar{y}=\frac{1}{m} \int_{C} y \rho(x, y) d s
Vale um análogo para o caso de três variáveis. Com estes fatos em mente, calcule a massa e o centro de massa dos fios dados:
r(t)=(2 \cos (t), 2 \operatorname{sen}(t), 0), x \geq 0, com densidade constante (o fio, neste caso, é chamado homogêneo).

Passo 1

O enunciado dá o fio parametrizado por
r(t) = \bigl(2\cos t,\;2\sin t,\;0\bigr),
com a condição x\ge0, e densidade linear constante \rho_0. Pede a massa
m = \int_{C} \rho(x,y)\,ds
e o centro de massa
\bar x = \frac1m\int_{C}x\,\rho(x,y)\,ds,\quad \bar y = \frac1m\int_{C}y\,\rho(x,y)\,ds.
Vamos usar parametrização de linha e a fórmula ds = \lVert r'(t)\rVert\,dt.

Passo 2

Como x=2\cos t\ge0 temos \cos t\ge0, logo
t\in\bigl[-\tfrac\pi2,\;\tfrac\pi2\bigr].
Calculamos
r'(t) = \bigl(-2\sin t,\;2\cos t,\;0\bigr),
então
\lVert r'(t)\rVert = \sqrt{(-2\sin t)^2 + (2\cos t)^2} = \sqrt{4\sin^2t + 4\cos^2t} = 2.
Logo
ds = 2\,dt.

Passo 3

A massa é
m = \int_{C}\rho_0\,ds = \rho_0 \int_{-\pi/2}^{\pi/2} 2\,dt = 2\rho_0\; \bigl[t\bigr]_{-\pi/2}^{\pi/2} = 2\rho_0\;\bigl(\tfrac\pi2 -(-\tfrac\pi2)\bigr) = 2\pi\,\rho_0.

Passo 4

Os momentos são
\int_{C}x\,\rho_0\,ds = \rho_0 \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \bigl(2\cos t\bigr)\bigl(2\,dt\bigr) =4\rho_0 \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos t\,dt =4\rho_0\bigl[\sin t\bigr]_{-\pi/2}^{\pi/2} =4\rho_0(1 -(-1)) =8\rho_0,
\int_{C}y\,\rho_0\,ds = \rho_0 \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \bigl(2\sin t\bigr)\bigl(2\,dt\bigr) =4\rho_0 \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sin t\,dt =4\rho_0\bigl[-\cos t\bigr]_{-\pi/2}^{\pi/2} =4\rho_0\bigl(-0+0\bigr) =0.

Passo 5

Aplicando as fórmulas do centro de massa:
\bar x = \frac{1}{m}\int_{C}x\,\rho_0\,ds = \frac{8\rho_0}{2\pi\rho_0} = \frac{8}{2\pi} = \frac{4}{\pi},
\bar y = \frac{1}{m}\int_{C}y\,\rho_0\,ds = \frac{0}{2\pi\rho_0} = 0,
e \bar z=0 pois z(t)\equiv0.

Resposta

A massa vale
m = 2\pi\,\rho_0
e o centro de massa está em
\bigl(\bar x,\bar y,\bar z\bigr) = \Bigl(\tfrac{4}{\pi},\,0,\,0\Bigr).

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