Exercício 1 Calcule
onde
e
são dados:
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha complexa
onde estão dados:
- A função
. - O caminho
é parametrizado por com .
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O caminho é um círculo de raio
centrado na origem, percorrido uma vez quando vai de a . - A função
é multivaluada: para usar a integral devemos escolher uma determinação contínua de ao longo do caminho . - A integral pedida é
. Não há outras restrições no enunciado sobre a determinação de , então vamos escolher a determinação contínua ao longo da parametrização dada.
Passo 2
Lembrete / fórmula que vamos usar (aula rápida e prática):
- Para uma curva parametrizada por
, , a integral de uma função ao longo da curva é
Aqui
. Essa é a definição prática da integral de linha complexa; basta substituir a parametrização e integrar em
. Cada termo será explicado quando usado.
Passo 3
Escolha contínua de
ao longo da curva:
- Ao longo da parametrização temos
com . Uma escolha natural e contínua para a raiz ao longo desse intervalo é
onde
é a raiz real positiva de
. Essa escolha é contínua em todo o intervalo
(note que os valores nos extremos
e
são diferentes, mas isso não impede a integração pois consideramos a função ao longo da parametrização — a integral usa os valores ao longo do intervalo de
). Essa expressão é a forma explícita que vamos usar para
.
Passo 4
Calcular
e montar o integrando:
- Derivando a parametrização:
implica
- Substituindo na fórmula da integral,
- Agrupando fatores:
Logo o integrando fica
, e a integral é
Passo 5
Calcular a integral em
:
- A integral de uma exponencial complexa é direta:
- Multiplicando pelo fator externo
:
pois
cancela com
no denominador.
Passo 6
Avaliar as exponenciais e simplificar:
- Calcular
e :
- Substituindo:
- Assim