Exercício 1 Calcule \int_{\gamma} f(z) d z onde f e \gamma são dados:
f(z)=\sqrt{z} e \gamma=\left\{z(\theta)=r e^{i \theta}:-\pi \leq \theta \leq \pi\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha complexa \int_{\gamma} f(z)\,dz onde estão dados:
  • A função f(z)=\sqrt{z}.
  • O caminho \gamma é parametrizado por \;z(\theta)=r e^{i\theta}\; com -\pi\le \theta\le \pi.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O caminho é um círculo de raio \;r\; centrado na origem, percorrido uma vez quando \theta vai de -\pi a \pi.
  • A função \sqrt{z} é multivaluada: para usar a integral devemos escolher uma determinação contínua de \sqrt{z} ao longo do caminho \gamma.
  • A integral pedida é \displaystyle \int_{\gamma}\sqrt{z}\,dz. Não há outras restrições no enunciado sobre a determinação de \sqrt{z}, então vamos escolher a determinação contínua ao longo da parametrização dada.

Passo 2

Lembrete / fórmula que vamos usar (aula rápida e prática):
  • Para uma curva parametrizada por \;z(\theta), \theta\in[a,b], a integral de uma função g(z) ao longo da curva é
\int_{\gamma} g(z)\,dz = \int_{a}^{b} g(z(\theta))\,z'(\theta)\,d\theta.
Aqui z'(\theta)=\dfrac{d z(\theta)}{d\theta}. Essa é a definição prática da integral de linha complexa; basta substituir a parametrização e integrar em \theta. Cada termo será explicado quando usado.

Passo 3

Escolha contínua de \sqrt{z} ao longo da curva:
  • Ao longo da parametrização temos z(\theta)=r e^{i\theta} com \theta\in[-\pi,\pi]. Uma escolha natural e contínua para a raiz ao longo desse intervalo é
\sqrt{z(\theta)} = \sqrt{r}\,e^{i\theta/2},\qquad \theta\in[-\pi,\pi],
onde \sqrt{r} é a raiz real positiva de r. Essa escolha é contínua em todo o intervalo [- \pi,\pi] (note que os valores nos extremos \theta=-\pi e \theta=\pi são diferentes, mas isso não impede a integração pois consideramos a função ao longo da parametrização — a integral usa os valores ao longo do intervalo de \theta). Essa expressão é a forma explícita que vamos usar para f(z(\theta)).

Passo 4

Calcular z'(\theta) e montar o integrando:
  • Derivando a parametrização: z(\theta)=r e^{i\theta} implica
z'(\theta)=\frac{d}{d\theta}\big(r e^{i\theta}\big)= i r e^{i\theta}.
  • Substituindo na fórmula da integral,
\int_{\gamma}\sqrt{z}\,dz = \int_{-\pi}^{\pi} \sqrt{z(\theta)}\, z'(\theta)\,d\theta = \int_{-\pi}^{\pi} \big(\sqrt{r}\,e^{i\theta/2}\big)\big(i r e^{i\theta}\big)\,d\theta.
  • Agrupando fatores:
\sqrt{r}\cdot r = r\sqrt{r}=r^{3/2}, \qquad e^{i\theta/2}e^{i\theta}=e^{i 3\theta/2}.
Logo o integrando fica i r^{3/2} e^{i 3\theta/2}, e a integral é
\int_{\gamma}\sqrt{z}\,dz = i r^{3/2}\int_{-\pi}^{\pi} e^{i 3\theta/2}\,d\theta.

Passo 5

Calcular a integral em \theta:
  • A integral de uma exponencial complexa é direta:
\int_{-\pi}^{\pi} e^{i\frac{3}{2}\theta}\,d\theta = \left[\frac{1}{i\frac{3}{2}} e^{i\frac{3}{2}\theta}\right]_{-\pi}^{\pi} = \frac{2}{3i}\big(e^{i\frac{3}{2}\pi}-e^{-i\frac{3}{2}\pi}\big).
  • Multiplicando pelo fator externo i r^{3/2}:
\int_{\gamma}\sqrt{z}\,dz = i r^{3/2}\cdot \frac{2}{3i}\big(e^{i\frac{3\pi}{2}}-e^{-i\frac{3\pi}{2}}\big) = \frac{2}{3} r^{3/2}\big(e^{i\frac{3\pi}{2}}-e^{-i\frac{3\pi}{2}}\big),
pois i cancela com i no denominador.

Passo 6

Avaliar as exponenciais e simplificar:
  • Calcular e^{i\frac{3\pi}{2}} e e^{-i\frac{3\pi}{2}}:
e^{i\frac{3\pi}{2}}=\cos\!\left(\tfrac{3\pi}{2}\right)+i\sin\!\left(\tfrac{3\pi}{2}\right)=0 - i = -i,
e^{-i\frac{3\pi}{2}}=\cos\!\left(-\tfrac{3\pi}{2}\right)+i\sin\!\left(-\tfrac{3\pi}{2}\right)=0 + i = i.
  • Substituindo:
e^{i\frac{3\pi}{2}}-e^{-i\frac{3\pi}{2}} = -i - i = -2i.
  • Assim
\int_{\gamma}\sqrt{z}\,dz = \frac{2}{3} r^{3/2}(-2i) = -\frac{4i}{3}\,r^{3/2}.

Resposta

-\dfrac{4i}{3}\,r^{3/2}

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