Exercício 1 Calcule
onde
e
são dados:
ao longo do segmento da origem ao ponto ( 2,0 ), seguido do segmento de ( 2,0 ) a
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde a função é dada por
(escrita em termos de
e
quando
) e a curva
é composta por dois segmentos consecutivos:
- segmento
do ponto até ; - seguido pelo segmento
do ponto até .
Informações relevantes dadas:
-
, que é uma função real dependente de e . - A curva é o caminho peça‑por‑peça indicado pelos dois segmentos acima.
- A tarefa é calcular a integral de linha ao longo de toda
(isto é, sobre e na ordem dada).
Passo 2
Estratégia e fórmula que vamos usar (explicação didática):
- Para integrar uma função
ao longo de uma curva no plano complexo, é prático parametrizar a curva por coordenadas reais. Escrevemos com e funções do parâmetro . - Se
e , então . - Substituímos
em termos de e calculamos a integral real
- Como a curva é peça‑por‑peça, a integral sobre
é soma das integrais sobre e :
Vamos parametrizar cada segmento e aplicar a fórmula acima. Nada de fórmulas avançadas — só substituir, reduzir e integrar em variável real.
Passo 3
Parametrização e cálculo em
(do
a
):
- Parametrização conveniente: para
,
- Então
- Avaliando
: . - O elemento
. - Portanto a integral sobre
é
- Calcule a integral (explicando a antiderivada): uma primitiva de
é . Então
Chame esse valor de
.
Passo 4
Parametrização e cálculo em
(do
a
):
- Parametrização conveniente: para
,
- Então
- Avaliando
: . - O elemento
. - Portanto a integral sobre
é
- Calcule a integral real: uma primitiva de
é . Assim
- Multiplicando por
obtemos .
Passo 5
Somar as contribuições das duas partes:
- A integral total é a soma
. - Onde
e . - Mantém‑se a combinação para dar a resposta final na seção de resposta abaixo.