Exercício 1 Calcule \int_{\gamma} f(z) d z onde f e \gamma são dados:
f(z)=y-x^{2} ao longo do segmento da origem ao ponto ( 2,0 ), seguido do segmento de ( 2,0 ) a (2,1).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{\gamma} f(z)\,dz
onde a função é dada por f(z)=y-x^{2} (escrita em termos de x e y quando z=x+iy) e a curva \gamma é composta por dois segmentos consecutivos:
  • segmento \gamma_1 do ponto (0,0) até (2,0);
  • seguido pelo segmento \gamma_2 do ponto (2,0) até (2,1).
Informações relevantes dadas:
  • f(z)=y-x^{2}, que é uma função real dependente de x e y.
  • A curva é o caminho peça‑por‑peça indicado pelos dois segmentos acima.
  • A tarefa é calcular a integral de linha ao longo de toda \gamma (isto é, sobre \gamma_1 e \gamma_2 na ordem dada).

Passo 2

Estratégia e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • Para integrar uma função f(z) ao longo de uma curva \gamma no plano complexo, é prático parametrizar a curva por coordenadas reais. Escrevemos z=x+iy com x e y funções do parâmetro t.
  • Se x=x(t) e y=y(t), então dz = dx + i\,dy = x'(t)\,dt + i\,y'(t)\,dt.
  • Substituímos f(z)=y-x^{2} em termos de t e calculamos a integral real
\int_{\gamma} f(z)\,dz = \int_{t_{a}}^{t_{b}} \bigl(y(t)-x(t)^{2}\bigr)\bigl(x'(t)+i\,y'(t)\bigr)\,dt.
  • Como a curva é peça‑por‑peça, a integral sobre \gamma é soma das integrais sobre \gamma_1 e \gamma_2:
\int_{\gamma} f(z)\,dz = \int_{\gamma_1} f(z)\,dz + \int_{\gamma_2} f(z)\,dz.
Vamos parametrizar cada segmento e aplicar a fórmula acima. Nada de fórmulas avançadas — só substituir, reduzir e integrar em variável real.

Passo 3

Parametrização e cálculo em \gamma_1 (do (0,0) a (2,0)):
  • Parametrização conveniente: para t\in[0,2],
x(t)=t,\qquad y(t)=0.
  • Então
dx = x'(t)\,dt = dt,\qquad dy = y'(t)\,dt = 0.
  • Avaliando f: f(z)=y-x^{2}=0-t^{2}=-t^{2}.
  • O elemento dz = dx + i\,dy = dt + i\cdot 0 = dt.
  • Portanto a integral sobre \gamma_1 é
\int_{\gamma_1} f(z)\,dz = \int_{0}^{2} (-t^{2})\,dt.
  • Calcule a integral (explicando a antiderivada): uma primitiva de -t^{2} é -\tfrac{t^{3}}{3}. Então
\int_{0}^{2} (-t^{2})\,dt = \left[-\tfrac{t^{3}}{3}\right]_{0}^{2} = -\tfrac{2^{3}}{3} + 0 = -\tfrac{8}{3}.
Chame esse valor de I_{1}=-\tfrac{8}{3}.

Passo 4

Parametrização e cálculo em \gamma_2 (do (2,0) a (2,1)):
  • Parametrização conveniente: para s\in[0,1],
x(s)=2,\qquad y(s)=s.
  • Então
dx = x'(s)\,ds = 0,\qquad dy = y'(s)\,ds = ds.
  • Avaliando f: f(z)=y-x^{2}=s-2^{2}=s-4.
  • O elemento dz = dx + i\,dy = 0 + i\,ds = i\,ds.
  • Portanto a integral sobre \gamma_2 é
\int_{\gamma_2} f(z)\,dz = \int_{0}^{1} (s-4)\,i\,ds = i\int_{0}^{1} (s-4)\,ds.
  • Calcule a integral real: uma primitiva de s-4 é \tfrac{s^{2}}{2}-4s. Assim
\int_{0}^{1} (s-4)\,ds = \left[\tfrac{s^{2}}{2}-4s\right]_{0}^{1} = \left(\tfrac{1}{2}-4\right)-0 = -\tfrac{7}{2}.
  • Multiplicando por i obtemos I_{2}=i\cdot\bigl(-\tfrac{7}{2}\bigr) = -\tfrac{7}{2}\,i.

Passo 5

Somar as contribuições das duas partes:
  • A integral total é a soma I = I_{1}+I_{2}.
  • Onde I_{1}=-\tfrac{8}{3} e I_{2}=-\tfrac{7}{2}\,i.
  • Mantém‑se a combinação para dar a resposta final na seção de resposta abaixo.

Resposta

-\dfrac{8}{3}-\dfrac{7}{2}\,i

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