Exercício 1 Calcule
onde
e
são dados:
e
é um contorno fechado envolvendo a origem uma vez no sentido positivo.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
com:
-
. -
é um contorno fechado que envolve a origem exatamente uma vez no sentido positivo.
O que é pedido: o valor da integral de linha complexa
, sabendo apenas que
dá uma volta positiva ao redor da origem.
Informações importantes dadas:
- A função
é a função logarítmica complexa, que é multi‑valorada (tem várias determinações de argumento). - A curva
é fechada e tem índice de enrolamento (winding number) igual a em relação à origem.
Passo 2
Entendendo a natureza de
(aulas rápidas de teoria, sem pular etapas).
- A função logarítmica complexa pode ser escrita como
. O problema está em
: o argumento
é multi‑valuado porque se
é um argumento de , também é argumento para qualquer . - Por isso
não é uma função única em todo ; para trabalhar com ela normalmente escolhemos uma “determinação” (um ramo), por exemplo a determinação principal que define . Cada escolha de ramo torna uma função contínua em uma região simplesmente conectada que não corta a origem. - Se a curva
dá uma volta completa ao redor da origem, qualquer determinação contínua de ao longo de sofre um incremento de no valor do argumento quando se percorre a volta completa: isto é, ao voltar ao ponto inicial a determinação da ganha .
Conclusão didática: para integrar
sobre
precisamos escolher uma determinação contínua de
ao longo do percurso (equivalente a escolher um valor inicial da
no ponto de partida). Diferentes escolhas podem dar diferentes valores para a integral, portanto a integral não é unicamente determinada apenas pela curva
— é necessária uma determinação de
ao longo dela.
Passo 3
Estratégia de cálculo concreta (integração por partes via parametrização).
- Seja uma parametrização de
por , , com (fechamento) e tal que faz uma volta positiva em torno da origem. Tome uma determinação contínua de ao longo do intervalo ; então é contínua em com
porque a curva roda uma vez em torno da origem.
- Escrevendo a integral pelo parâmetro:
- Observe a função
Calcule sua derivada (regra do produto e cadeia; tudo explícito):
Logo
- Portanto a integral fica
Isto é, por integração por partes (ou pela observação direta acima),
Passo 4
Avaliação do salto (monodromia) de
ao percorrer
.
- Como
mas , temos
- Substituindo
e ,
- Conclusão: com a determinação contínua de
escolhida ao longo do percurso (ou seja, fixando no ponto inicial ), obtemos
Comentário importante (didático e empático): isso mostra claramente o efeito da multivaluidade da
. O resultado depende do valor de
— isto é, depende do ponto inicial que foi escolhido para parametrizar
e da escolha da determinação contínua de
ao longo do caminho. Não é um “erro” — é a matemática: sem fixar uma determinação de
(ou um ponto base) a integral não é unicamente determinada.
Passo 5
Exemplos para fixar a ideia (bem prático).
- Exemplo 1: se
é o círculo unitário percorrido uma vez no sentido positivo, podemos tomar a parametrização , . Aqui . Pela fórmula:
- Exemplo 2: se paramos o mesmo círculo usando
(ou seja, começando no ponto ), então a integral vale
conforme o cálculo direto feito nos passos anteriores. Note que os dois valores diferem quando
— justamente porque a determinação contínua de
utilizada atribui valores numéricos diferentes em cada parametrização (a mesma curva com uma escolha diferente de “ponto base” para a determinação).
Passo 6
Interpretação final e instrução para a prova (resumindo e dizendo o que fazer na hora).
- Resumo prático: a integral
sobre um contorno que faz uma volta positiva em torno da origem não é um valor único sem especificar a determinação contínua de ao longo de . Se for escolhida uma determinação contínua de ao longo de correspondente a um ponto inicial , então
- Na prova: se o enunciado não especificar a determinação da
, peça para o examinador (ou explique na solução) qual determinação foi usada, e escolha um ponto base conveniente (por exemplo o ponto de interseção da curva com o eixo real positivo, se houver). Se o enunciado pedir especificamente a avaliação no círculo unitário com parametrização padrão, use e obtenha .