Exercício 1 Calcule \int_{\gamma} f(z) d z onde f e \gamma são dados:
f(z)=\log (z) e \gamma é um contorno fechado envolvendo a origem uma vez no sentido positivo.

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \int_{\gamma} f(z)\,dz com:
  • f(z)=\log(z).
  • \gamma é um contorno fechado que envolve a origem exatamente uma vez no sentido positivo.
O que é pedido: o valor da integral de linha complexa \displaystyle \int_{\gamma}\log(z)\,dz, sabendo apenas que \gamma dá uma volta positiva ao redor da origem.
Informações importantes dadas:
  • A função \log(z) é a função logarítmica complexa, que é multi‑valorada (tem várias determinações de argumento).
  • A curva \gamma é fechada e tem índice de enrolamento (winding number) igual a 1 em relação à origem.

Passo 2

Entendendo a natureza de \log(z) (aulas rápidas de teoria, sem pular etapas).
  • A função logarítmica complexa pode ser escrita como \log z=\ln|z|+i\Arg z. O problema está em \Arg z: o argumento \Arg z é multi‑valuado porque se \theta é um argumento de z, também é argumento \theta+2\pi k para qualquer k\in\mathbb{Z}.
  • Por isso \log z não é uma função única em todo \mathbb{C}\setminus\{0\}; para trabalhar com ela normalmente escolhemos uma “determinação” (um ramo), por exemplo a determinação principal que define \Arg z\in(-\pi,\pi]. Cada escolha de ramo torna \log z uma função contínua em uma região simplesmente conectada que não corta a origem.
  • Se a curva \gamma dá uma volta completa ao redor da origem, qualquer determinação contínua de \log z ao longo de \gamma sofre um incremento de 2\pi i no valor do argumento quando se percorre a volta completa: isto é, ao voltar ao ponto inicial a determinação da \log ganha 2\pi i.
Conclusão didática: para integrar \log z sobre \gamma precisamos escolher uma determinação contínua de \log ao longo do percurso (equivalente a escolher um valor inicial da \Arg no ponto de partida). Diferentes escolhas podem dar diferentes valores para a integral, portanto a integral não é unicamente determinada apenas pela curva \gamma — é necessária uma determinação de \log ao longo dela.

Passo 3

Estratégia de cálculo concreta (integração por partes via parametrização).
  • Seja uma parametrização de \gamma por z(t), t\in[a,b], com z(a)=z(b) (fechamento) e tal que \gamma faz uma volta positiva em torno da origem. Tome uma determinação contínua de \log z ao longo do intervalo [a,b]; então \log z(t) é contínua em [a,b] com
\log z(b)=\log z(a)+2\pi i,
porque a curva roda uma vez em torno da origem.
  • Escrevendo a integral pelo parâmetro:
\int_{\gamma}\log(z)\,dz=\int_a^b \log\big(z(t)\big)\,z'(t)\,dt.
  • Observe a função
G(t)=z(t)\log\big(z(t)\big)-z(t).
Calcule sua derivada (regra do produto e cadeia; tudo explícito):
G'(t)=z'(t)\log\big(z(t)\big)+z(t)\cdot\frac{z'(t)}{z(t)}-z'(t)=z'(t)\log\big(z(t)\big).
Logo
z'(t)\log\big(z(t)\big)=G'(t).
  • Portanto a integral fica
\int_a^b z'(t)\log\big(z(t)\big)\,dt=G(b)-G(a).
Isto é, por integração por partes (ou pela observação direta acima),
\int_{\gamma}\log(z)\,dz = \big[z\log z - z\big]_{t=a}^{t=b}.

Passo 4

Avaliação do salto (monodromia) de G ao percorrer \gamma.
  • Como z(b)=z(a) mas \log z(b)=\log z(a)+2\pi i, temos
G(b)-G(a)=\big(z(b)\log z(b)-z(b)\big)-\big(z(a)\log z(a)-z(a)\big).
  • Substituindo z(b)=z(a) e \log z(b)=\log z(a)+2\pi i,
G(b)-G(a)=z(a)\big(\log z(a)+2\pi i\big)-z(a)-z(a)\log z(a)+z(a)=2\pi i\,z(a).
  • Conclusão: com a determinação contínua de \log escolhida ao longo do percurso (ou seja, fixando \log no ponto inicial z(a)), obtemos
\boxed{\displaystyle \int_{\gamma}\log(z)\,dz=2\pi i\,z(a).}
Comentário importante (didático e empático): isso mostra claramente o efeito da multivaluidade da \log. O resultado depende do valor de z(a) — isto é, depende do ponto inicial que foi escolhido para parametrizar \gamma e da escolha da determinação contínua de \log ao longo do caminho. Não é um “erro” — é a matemática: sem fixar uma determinação de \log (ou um ponto base) a integral não é unicamente determinada.

Passo 5

Exemplos para fixar a ideia (bem prático).
  • Exemplo 1: se \gamma é o círculo unitário percorrido uma vez no sentido positivo, podemos tomar a parametrização z(t)=e^{it}, t\in[0,2\pi]. Aqui z(a)=z(0)=1. Pela fórmula:
\int_{\gamma}\log(z)\,dz = 2\pi i\cdot 1 = 2\pi i.
  • Exemplo 2: se paramos o mesmo círculo usando t\in[\alpha,\alpha+2\pi] (ou seja, começando no ponto z(\alpha)=e^{i\alpha}), então a integral vale
\int_{\gamma}\log(z)\,dz = 2\pi i\,e^{i\alpha},
conforme o cálculo direto feito nos passos anteriores. Note que os dois valores diferem quando \alpha\neq 0 — justamente porque a determinação contínua de \log utilizada atribui valores numéricos diferentes em cada parametrização (a mesma curva com uma escolha diferente de “ponto base” para a determinação).

Passo 6

Interpretação final e instrução para a prova (resumindo e dizendo o que fazer na hora).
  • Resumo prático: a integral \displaystyle \int_{\gamma}\log(z)\,dz sobre um contorno que faz uma volta positiva em torno da origem não é um valor único sem especificar a determinação contínua de \log ao longo de \gamma. Se for escolhida uma determinação contínua de \log ao longo de \gamma correspondente a um ponto inicial z_0\in\gamma, então
\int_{\gamma}\log(z)\,dz = 2\pi i\,z_0.
  • Na prova: se o enunciado não especificar a determinação da \log, peça para o examinador (ou explique na solução) qual determinação foi usada, e escolha um ponto base conveniente (por exemplo o ponto de interseção da curva com o eixo real positivo, se houver). Se o enunciado pedir especificamente a avaliação no círculo unitário com parametrização padrão, use z_0=1 e obtenha 2\pi i.

Resposta

\displaystyle 2\pi i\,z_0, onde z_0 é o ponto inicial da parametrização (o ponto base usado na determinação contínua de \log z ao longo de \gamma).

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