Exercício 3 Calcule \int_{\gamma} f(z) d z onde f e \gamma são dados:
f(z)=\frac{\cos z}{\operatorname{sen}^{2} z} e \gamma é o círculo |z|=1.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha complexa
\int_{\gamma} f(z)\,dz
onde f(z)=\dfrac{\cos z}{\operatorname{sen}^{2} z} e \gamma é o círculo |z|=1. Vou assumir a orientação padrão positiva (contra-horária) do contorno \gamma. Informações dadas:
  • A função é f(z)=\dfrac{\cos z}{\operatorname{sen}^{2} z}.
  • O contorno é o círculo \gamma:\\ |z|=1, fechado e simples, com orientação positiva.
  • O objetivo é calcular \displaystyle\int_{\gamma} \dfrac{\cos z}{\operatorname{sen}^{2} z}\,dz.

Passo 2

Escolha do método (o que vamos usar) — explicação didática curta e motivadora.
  • Para integrais de funções meromorfas em contornos fechados, o método mais direto é o Teorema dos Resíduos: a integral é 2\pi i vezes a soma dos resíduos das singularidades isoladas da função que estão no interior do contorno.
  • Portanto, vamos encontrar as singularidades de f dentro do disco |z|<1, calcular os resíduos dessas singularidades e aplicar o Teorema dos Resíduos.
    (Por que não outra técnica? Porque f tem polos isolados e o Teorema dos Resíduos é exatamente a ferramenta standard e eficiente para esse caso.)

Passo 3

Localizar singularidades de f e decidir quais estão dentro de |z|<1.
  • As singularidades de f(z)=\dfrac{\cos z}{\operatorname{sen}^{2} z} ocorrem quando \operatorname{sen} z=0.
  • As zeros de \operatorname{sen} z são z=n\pi para n\in\mathbb{Z}.
  • Dentre esses, apenas z=0 pertence ao disco |z|<1 (porque |\pm\pi|>\!1).
  • Portanto, o único ponto singular isolado de f dentro de \gamma é z=0.

Passo 4

Determinar a ordem do polo em z=0 e a forma apropriada de calcular o resíduo.
  • Perto de 0, \operatorname{sen} z tem um zero simples: \operatorname{sen} z = z + O(z^{3}). Assim \operatorname{sen}^{2} z tem zero de ordem 2 em 0.
  • Como \cos 0 = 1 \neq 0, a função f(z)=\dfrac{\cos z}{\operatorname{sen}^{2} z} tem um polo de ordem 2 em z=0.
  • Fórmula prática para resíduo em polo de ordem 2 em a:
\operatorname{Res}(f,a)=\lim_{z\to a}\frac{d}{dz}\Big[(z-a)^{2}f(z)\Big].
  • Aqui a=0, logo
\operatorname{Res}(f,0)=\lim_{z\to 0}\frac{d}{dz}\big[z^{2}f(z)\big].

Passo 5

Calcular \operatorname{Res}(f,0) com desenvolvimento em séries (explicando cada série).
  • Primeiro escrevemos séries de Taylor (centradas em 0) para \operatorname{sen} z e \cos z:
\operatorname{sen} z = z - \frac{z^{3}}{6} + \frac{z^{5}}{120} + O(z^{7}), \qquad \cos z = 1 - \frac{z^{2}}{2} + \frac{z^{4}}{24} + O(z^{6}).
  • Então
\frac{\operatorname{sen} z}{z}=1 - \frac{z^{2}}{6} + \frac{z^{4}}{120} + O(z^{6}).
  • Elevando ao quadrado,
\left(\frac{\operatorname{sen} z}{z}\right)^{2} =1 - \frac{z^{2}}{3} + \frac{2}{45}z^{4} + O(z^{6}).
Logo
\operatorname{sen}^{2} z = z^{2}\left(1 - \frac{z^{2}}{3} + \frac{2}{45}z^{4} + O(z^{6})\right).
  • Então
z^{2}f(z)=z^{2}\cdot\frac{\cos z}{\operatorname{sen}^{2} z} =\frac{\cos z}{\left(\dfrac{\operatorname{sen} z}{z}\right)^{2}} = \frac{1 - \dfrac{z^{2}}{2} + \dfrac{z^{4}}{24} + O(z^{6})} {1 - \dfrac{z^{2}}{3} + \dfrac{2}{45}z^{4} + O(z^{6})}.
  • Para dividir séries, escrevemos 1/(1+u)=1-u+u^{2}+O(u^{3}) com u=-\dfrac{z^{2}}{3}+\dfrac{2}{45}z^{4}+O(z^{6}). Isso dá
\frac{1}{1 - \dfrac{z^{2}}{3} + \dfrac{2}{45}z^{4}} = 1 + \frac{z^{2}}{3} + \frac{z^{4}}{15} + O(z^{6}).
  • Multiplicando pelo numerador:
z^{2}f(z)=\Big(1 - \frac{z^{2}}{2} + \frac{z^{4}}{24} + O(z^{6})\Big)\Big(1 + \frac{z^{2}}{3} + \frac{z^{4}}{15} + O(z^{6})\Big).
  • Calculando os termos até z^{4}:
z^{2}f(z)=1 + \Big(\frac{1}{3}-\frac{1}{2}\Big)z^{2} + \Big(\frac{1}{15}-\frac{1}{6}+\frac{1}{24}\Big)z^{4} + O(z^{6}).
  • Simplificando as frações:
\frac{1}{3}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{6}, \qquad \frac{1}{15}-\frac{1}{6}+\frac{1}{24}=-\frac{7}{120}.
  • Portanto a expansão é
z^{2}f(z)=1 - \frac{1}{6}z^{2} - \frac{7}{120}z^{4} + O(z^{6}).

Passo 6

Obter o resíduo a partir da expansão.
  • Pelo passo anterior, a função g(z):=z^{2}f(z) tem expansão analítica
g(z)=1 - \frac{1}{6}z^{2} + O(z^{4}).
  • Logo g'(z) = -\dfrac{1}{3} z + O(z^{3}), e em particular g'(0)=0.
  • Pela fórmula para polo de ordem 2,
\operatorname{Res}(f,0)=\lim_{z\to 0}\frac{d}{dz}\big[z^{2}f(z)\big]=g'(0)=0.

Passo 7

Aplicar o Teorema dos Resíduos e concluir a integral.
  • A única singularidade de f dentro de \gamma é 0 e \operatorname{Res}(f,0)=0.
  • Pelo Teorema dos Resíduos,
\int_{\gamma} f(z)\,dz = 2\pi i\sum_{\text{sing. dentro}}\operatorname{Res}(f,\cdot) =2\pi i\cdot 0=0.

Resposta

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