Exercício 3 Calcule
onde
e
são dados:
e
é o círculo
.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral de linha complexa
onde
e
é o círculo
. Vou assumir a orientação padrão positiva (contra-horária) do contorno
. Informações dadas:
- A função é
. - O contorno é o círculo
, fechado e simples, com orientação positiva. - O objetivo é calcular
.
Passo 2
Escolha do método (o que vamos usar) — explicação didática curta e motivadora.
- Para integrais de funções meromorfas em contornos fechados, o método mais direto é o Teorema dos Resíduos: a integral é
vezes a soma dos resíduos das singularidades isoladas da função que estão no interior do contorno. - Portanto, vamos encontrar as singularidades de
dentro do disco , calcular os resíduos dessas singularidades e aplicar o Teorema dos Resíduos.
(Por que não outra técnica? Porquetem polos isolados e o Teorema dos Resíduos é exatamente a ferramenta standard e eficiente para esse caso.)
Passo 3
Localizar singularidades de
e decidir quais estão dentro de
.
- As singularidades de
ocorrem quando . - As zeros de
são para . - Dentre esses, apenas
pertence ao disco (porque ). - Portanto, o único ponto singular isolado de
dentro de é .
Passo 4
Determinar a ordem do polo em
e a forma apropriada de calcular o resíduo.
- Perto de
, tem um zero simples: . Assim tem zero de ordem em . - Como
, a função tem um polo de ordem em . - Fórmula prática para resíduo em polo de ordem
em :
- Aqui
, logo
Passo 5
Calcular
com desenvolvimento em séries (explicando cada série).
- Primeiro escrevemos séries de Taylor (centradas em
) para e :
- Então
- Elevando ao quadrado,
Logo
- Então
- Para dividir séries, escrevemos
com . Isso dá
- Multiplicando pelo numerador:
- Calculando os termos até
:
- Simplificando as frações:
- Portanto a expansão é
Passo 6
Obter o resíduo a partir da expansão.
- Pelo passo anterior, a função
tem expansão analítica
- Logo
, e em particular . - Pela fórmula para polo de ordem
,
Passo 7
Aplicar o Teorema dos Resíduos e concluir a integral.
- A única singularidade de
dentro de é e . - Pelo Teorema dos Resíduos,