Exercício 1. Calcule \int_{2}^{3} \int_{1}^{5} x^{2} y^{2} d x d y.
Passo 1
O enunciado pede que se calcule a integral dupla
\int_{2}^{3}\int_{1}^{5} x^{2}y^{2}\,dx\,dy.
Informações dadas:
A variável x varia de 1 a 5.
A variável y varia de 2 a 3.
A função integranda é x^{2}y^{2}, um polinômio em x e y.
A tarefa é encontrar o valor numérico dessa integral dupla.
Passo 2
Justificativa e integração em x.
Como x^{2}y^{2} é um polinômio (logo contínuo) no retângulo [1,5]\times[2,3], vale o teorema de Fubini: a integral dupla pode ser calculada como integral iterada na ordem dada. Ao integrar em x primeiro, tratamos y como constante. Podemos usar a propriedade de linearidade e fatorar y^{2} para fora da integral em x:
o que confirma o resultado anterior. Boa: você já pegou o jeitinho — para funções produto em retângulos, às vezes fica muito mais rápido usar essa propriedade.