Exercício 1. Calcule \int_{2}^{3} \int_{1}^{5} x^{2} y^{2} d x d y.

Passo 1

O enunciado pede que se calcule a integral dupla
\int_{2}^{3}\int_{1}^{5} x^{2}y^{2}\,dx\,dy.
Informações dadas:
  • A variável x varia de 1 a 5.
  • A variável y varia de 2 a 3.
  • A função integranda é x^{2}y^{2}, um polinômio em x e y.
    A tarefa é encontrar o valor numérico dessa integral dupla.

Passo 2

Justificativa e integração em x.
Como x^{2}y^{2} é um polinômio (logo contínuo) no retângulo [1,5]\times[2,3], vale o teorema de Fubini: a integral dupla pode ser calculada como integral iterada na ordem dada. Ao integrar em x primeiro, tratamos y como constante. Podemos usar a propriedade de linearidade e fatorar y^{2} para fora da integral em x:
\int_{1}^{5} x^{2}y^{2}\,dx = y^{2}\int_{1}^{5} x^{2}\,dx.
Lembrete prático (regra do poder): para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aplicando ao caso n=2:
\int_{1}^{5} x^{2}\,dx = \left.\dfrac{x^{3}}{3}\right|_{1}^{5} = \dfrac{5^{3}-1^{3}}{3} = \dfrac{125-1}{3} = \dfrac{124}{3}.
Portanto a integral interna é
\int_{1}^{5} x^{2}y^{2}\,dx = \dfrac{124}{3}\,y^{2}.

Passo 3

Integração em y.
Agora integramos a função resultante em y:
\int_{2}^{3}\left(\dfrac{124}{3}\,y^{2}\right)dy = \dfrac{124}{3}\int_{2}^{3} y^{2}\,dy.
Usando novamente a regra do poder:
\int_{2}^{3} y^{2}\,dy = \left.\dfrac{y^{3}}{3}\right|_{2}^{3} = \dfrac{3^{3}-2^{3}}{3} = \dfrac{27-8}{3} = \dfrac{19}{3}.
Multiplicando as constantes:
\dfrac{124}{3}\cdot\dfrac{19}{3} = \dfrac{124\cdot19}{9}.
Fazendo a conta 124\cdot19 = 124\cdot(20-1)=2480-124=2356, obtemos
\dfrac{2356}{9}.

Passo 4

Observação alternativa (intuitiva e útil na prova).
Como a integranda é separável, x^{2}y^{2}=(x^{2})(y^{2}), o integral duplo sobre o retângulo também pode ser visto como produto de integrais simples:
\left(\int_{1}^{5} x^{2}\,dx\right)\!\left(\int_{2}^{3} y^{2}\,dy\right) = \dfrac{124}{3}\cdot\dfrac{19}{3}=\dfrac{2356}{9},
o que confirma o resultado anterior. Boa: você já pegou o jeitinho — para funções produto em retângulos, às vezes fica muito mais rápido usar essa propriedade.

Resposta

\dfrac{2356}{9}

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