Exercício 6. Calcule \int_{\pi}^{2 \pi} \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{2}(x) \operatorname{sen}(x) \cos (y) d x d y.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{\pi}^{2\pi}\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2}(x)\sin(x)\cos(y)\,dx\,dy.
Informações dadas:
  • A variável de integração interna é x com limites x\in\left[\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2}\right].
  • A variável de integração externa é y com limites y\in[\pi,2\pi].
  • O integrando é \cos^{2}(x)\sin(x)\cos(y).
    O que se pede: calcular o valor numérico desta integral dupla.

Passo 2

Observação útil sobre a forma do integrando: ele é um produto de uma função que depende só de x e outra que depende só de y. Ou seja, escrevemos
\cos^{2}(x)\sin(x)\cos(y)=f(x)\,g(y),
onde f(x)=\cos^{2}(x)\sin(x) e g(y)=\cos(y). Para integrais sobre um retângulo nos limites dados, quando o integrando separa assim, a integral dupla separa como produto das integrais simples:
\int_{\pi}^{2\pi}\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} f(x)g(y)\,dx\,dy =\left(\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} f(x)\,dx\right)\left(\int_{\pi}^{2\pi} g(y)\,dy\right).
Então basta calcular as duas integrais simples e multiplicar os resultados.

Passo 3

Calcular a integral em x:
I_x=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2}(x)\sin(x)\,dx.
Aqui é natural usar a substituição u=\cos(x). Explico com calma:
  • Definição: u=\cos(x).
  • Derivando, du=-\sin(x)\,dx, ou equivalentemente \sin(x)\,dx=-du.
    Substituindo na integral,
I_x=\int_{x=\frac{\pi}{4}}^{x=\frac{\pi}{2}} \cos^{2}(x)\sin(x)\,dx =\int_{u=\cos(\frac{\pi}{4})}^{u=\cos(\frac{\pi}{2})} u^{2}(-du) =-\int_{u=\frac{\sqrt{2}}{2}}^{u=0} u^{2}\,du.
Agora integramos um polinômio simples:
-\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{0} u^{2}\,du = -\left[\frac{u^{3}}{3}\right]_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{0} = -\left(0-\frac{(\frac{\sqrt{2}}{2})^{3}}{3}\right) = \frac{(\frac{\sqrt{2}}{2})^{3}}{3}.
Calculando (\tfrac{\sqrt{2}}{2})^{3}:
\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{3}=\frac{(\sqrt{2})^{3}}{8}=\frac{2\sqrt{2}}{8}=\frac{\sqrt{2}}{4}.
Portanto
I_x=\frac{\sqrt{2}/4}{3}=\frac{\sqrt{2}}{12}.

Passo 4

Calcular a integral em y:
I_y=\int_{\pi}^{2\pi}\cos(y)\,dy.
A primitiva de \cos(y) é \sin(y). Então
I_y=\left[\sin(y)\right]_{\pi}^{2\pi}=\sin(2\pi)-\sin(\pi)=0-0=0.
Comentário rápido e útil: integrar \cos ao longo de um período inteiro (aqui de \pi a 2\pi é metade de um período, mas ainda assim os valores das funções trigonométricas em \pi e 2\pi fazem a diferença ser zero) frequentemente dá zero quando os limites cobrem simetrias que cancelam.

Passo 5

Multiplicando os resultados das integrais separadas:
\iint \cos^{2}(x)\sin(x)\cos(y)\,dx\,dy = I_x\cdot I_y = \frac{\sqrt{2}}{12}\cdot 0 = 0.
Intuição final: mesmo que a parte em x seja positiva, a parte em y integra para zero, então o produto total é zero. Força aí — esse tipo de separação de variáveis costuma simplificar muito!

Resposta

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