Exercício 6. Calcule
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
Informações dadas:
- A variável de integração interna é
com limites . - A variável de integração externa é
com limites . - O integrando é
.
O que se pede: calcular o valor numérico desta integral dupla.
Passo 2
Observação útil sobre a forma do integrando: ele é um produto de uma função que depende só de
e outra que depende só de
. Ou seja, escrevemos
onde
e
. Para integrais sobre um retângulo nos limites dados, quando o integrando separa assim, a integral dupla separa como produto das integrais simples:
Então basta calcular as duas integrais simples e multiplicar os resultados.
Passo 3
Calcular a integral em
:
Aqui é natural usar a substituição
. Explico com calma:
- Definição:
. - Derivando,
, ou equivalentemente .
Substituindo na integral,
Agora integramos um polinômio simples:
Calculando
:
Portanto
Passo 4
Calcular a integral em
:
A primitiva de
é
. Então
Comentário rápido e útil: integrar
ao longo de um período inteiro (aqui de
a
é metade de um período, mas ainda assim os valores das funções trigonométricas em
e
fazem a diferença ser zero) frequentemente dá zero quando os limites cobrem simetrias que cancelam.
Passo 5
Multiplicando os resultados das integrais separadas:
Intuição final: mesmo que a parte em
seja positiva, a parte em
integra para zero, então o produto total é zero. Força aí — esse tipo de separação de variáveis costuma simplificar muito!
Resposta
0