Exercício 4. Calcule as integrais abaixo:
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde a região
é dada por
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A função a integrar é
. - A desigualdade
descreve os limites em para cada . - O
está entre e segundo a descrição dada (a confirmar e justificar nos próximos passos).
O objetivo é calcular o valor numérico dessa integral dupla.
Passo 2
Primeiro vamos garantir quais valores de
fazem sentido para as desigualdades
. Para que haja algum
com
é necessário que
. Vamos resolver isso:
A solução dessa desigualdade é
. Portanto, a região
tem
variando de
a
e, para cada
fixo nesse intervalo,
varia de
até
. Assim os limites naturais para integrar são
Passo 3
Escrever a integral dupla como integral iterada na ordem
(integramos primeiro em
mantendo
fixo):
Explicação rápida do porquê: para
fixo a função em
é simples e os limites em
são exatamente
e
, então essa ordem é a mais direta.
Passo 4
Calcular a integral interna em
. Para
fixo, integrando termo a termo:
- A primitiva de
em relação a (tratando como constante) é . - A primitiva de
em relação a é (regra do poder: , e há o fator externo).
Portanto
Passo 5
Avaliar a primitiva nos limites
e
:
Reescrevendo
como
, obtemos a função que será integrada em
:
Passo 6
Agora integramos essa expressão em
de
a
, termo a termo, usando a regra de potência
para
:
Aqui cada primitiva foi obtida assim:
-
. -
. -
. -
.
Passo 7
Avaliar no intervalo
. No
todas as parcelas valem zero, então basta avaliar em
:
Fazer a soma com denominador comum; um denominador comum conveniente é
:
Somando:
Logo o resultado é
.