Exercício 4. Calcule as integrais abaixo:
(b) \iint_{R}\left(x^{2}+\frac{y}{2}\right) d A, \quad R=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 1 \text { e } x \leq y \leq \sqrt{x}\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R}\left(x^{2}+\frac{y}{2}\right)\,dA,
onde a região R é dada por
R=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1\\ \text{e}\\ x\le y\le \sqrt{x}\}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A função a integrar é \;x^{2}+\dfrac{y}{2}\;.
  • A desigualdade x\le y\le \sqrt{x} descreve os limites em y para cada x.
  • O x está entre 0 e 1 segundo a descrição dada (a confirmar e justificar nos próximos passos).
    O objetivo é calcular o valor numérico dessa integral dupla.

Passo 2

Primeiro vamos garantir quais valores de x fazem sentido para as desigualdades x\le y\le \sqrt{x}. Para que haja algum y com x\le y\le \sqrt{x} é necessário que x\le \sqrt{x}. Vamos resolver isso:
x\le \sqrt{x}\quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}\le x\quad\Longleftrightarrow\quad x(x-1)\le 0.
A solução dessa desigualdade é 0\le x\le 1. Portanto, a região R tem x variando de 0 a 1 e, para cada x fixo nesse intervalo, y varia de y=x até y=\sqrt{x}. Assim os limites naturais para integrar são
0\le x\le 1,\qquad x\le y\le \sqrt{x}.

Passo 3

Escrever a integral dupla como integral iterada na ordem dy\,dx (integramos primeiro em y mantendo x fixo):
\iint_{R}\left(x^{2}+\frac{y}{2}\right)\,dA = \int_{x=0}^{1}\left(\int_{y=x}^{\sqrt{x}}\left(x^{2}+\frac{y}{2}\right)\,dy\right)dx.
Explicação rápida do porquê: para x fixo a função em y é simples e os limites em y são exatamente x e \sqrt{x}, então essa ordem é a mais direta.

Passo 4

Calcular a integral interna em y. Para x fixo, integrando termo a termo:
  • A primitiva de x^{2} em relação a y (tratando x como constante) é x^{2}y.
  • A primitiva de \dfrac{y}{2} em relação a y é \dfrac{y^{2}}{4} (regra do poder: \int y\,dy = y^{2}/2, e há o fator 1/2 externo).
Portanto
\int_{y=x}^{\sqrt{x}}\left(x^{2}+\frac{y}{2}\right)\,dy = \left[x^{2}y+\frac{y^{2}}{4}\right]_{y=x}^{y=\sqrt{x}}.

Passo 5

Avaliar a primitiva nos limites y=\sqrt{x} e y=x:
\begin{aligned} \left[x^{2}y+\frac{y^{2}}{4}\right]_{y=x}^{y=\sqrt{x}} &= \left(x^{2}\sqrt{x}+\frac{(\sqrt{x})^{2}}{4}\right)-\left(x^{2}\cdot x+\frac{x^{2}}{4}\right)\\[4pt] &= x^{2}\sqrt{x}+\frac{x}{4}-x^{3}-\frac{x^{2}}{4}. \end{aligned}
Reescrevendo x^{2}\sqrt{x} como x^{5/2}, obtemos a função que será integrada em x:
x^{5/2}-x^{3}+\frac{x}{4}-\frac{x^{2}}{4}.]

Passo 6

Agora integramos essa expressão em x de 0 a 1, termo a termo, usando a regra de potência \int x^{n}\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1} para n\neq -1:
\int_{0}^{1}\left(x^{5/2}-x^{3}+\frac{x}{4}-\frac{x^{2}}{4}\right)dx = \left[\frac{2}{7}x^{7/2}-\frac{1}{4}x^{4}+\frac{1}{8}x^{2}-\frac{1}{12}x^{3}\right]_{0}^{1}.
Aqui cada primitiva foi obtida assim:
  • \int x^{5/2}dx = \dfrac{x^{7/2}}{7/2} = \dfrac{2}{7}x^{7/2}.
  • \int -x^{3}dx = -\dfrac{x^{4}}{4}.
  • \int \dfrac{x}{4}dx = \dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{x^{2}}{2} = \dfrac{1}{8}x^{2}.
  • \int -\dfrac{x^{2}}{4}dx = -\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{x^{3}}{3} = -\dfrac{1}{12}x^{3}.

Passo 7

Avaliar no intervalo [0,1]. No x=0 todas as parcelas valem zero, então basta avaliar em x=1:
\frac{2}{7}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}-\frac{1}{12}.
Fazer a soma com denominador comum; um denominador comum conveniente é 168:
\frac{2}{7}=\frac{48}{168},\quad -\frac{1}{4}=-\frac{42}{168},\quad \frac{1}{8}=\frac{21}{168},\quad -\frac{1}{12}=-\frac{14}{168}.
Somando:
48-42+21-14 = 13.
Logo o resultado é \dfrac{13}{168}.

Resposta

\dfrac{13}{168}

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