Exercício 5. (5 pontos) Calcule o valor médio da função
sobre a região:
Passo 1
O enunciado pede: calcular o valor médio da função
sobre a região
Informações dadas:
- A função é
. - A região
é descrita por e, para cada nesse intervalo, varia de até .
O que precisamos encontrar: o valor médio desobre .
Passo 2
Fórmula que vamos usar (definição do valor médio de uma função sobre uma região plana):
Explicando:
é a área da região
. A integral dupla
soma (integra) os valores de
sobre toda a região; dividir pela área dá a média. Aqui
representa um elemento de área (em coordenadas cartesianas
ou
).
Passo 3
Calcular a área de
. Como a descrição tem
variando de
a
e, para cada
,
de
a
, usamos a ordem
:
Primeiro fazemos a integral interna em
:
Agora integramos em
:
Passo 4
Calcular
com a mesma ordem
:
Calculo da integral interna em
. Separando termos:
Cada termo:
Somando:
Passo 5
Agora integramos em
de
a
:
Integramos termo a termo:
Somando todos:
Fazendo as contas com denominador comum
:
Somando:
Passo 6
Finalmente, o valor médio é
Calcule a divisão:
logo
Pequena verificação mental: não dá para simplificar mais (45 e 56 não têm fatores primos em comum), então
é a forma final.