Exercício 5. (5 pontos) Calcule o valor médio da função f(x, y)=x+y^{2} sobre a região:
R=\left\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 1 \text { e } x^{2} \leq y \leq 1\right\}

Passo 1

O enunciado pede: calcular o valor médio da função f(x,y)=x+y^{2} sobre a região
R=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1\\ \text{e}\\ x^{2}\le y\le 1\}.
Informações dadas:
  • A função é f(x,y)=x+y^{2}.
  • A região R é descrita por 0\le x\le 1 e, para cada x nesse intervalo, y varia de y=x^{2} até y=1.
    O que precisamos encontrar: o valor médio de f sobre R.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (definição do valor médio de uma função sobre uma região plana):
\text{valor médio}=\overline{f}=\frac{1}{\text{Area}(R)}\iint_{R} f(x,y)\,dA.é
Explicando: \text{Area}(R) é a área da região R. A integral dupla \iint_{R} f(x,y)\,dA soma (integra) os valores de f sobre toda a região; dividir pela área dá a média. Aqui dA representa um elemento de área (em coordenadas cartesianas dA=dx\,dy ou dy\,dx).

Passo 3

Calcular a área de R. Como a descrição tem x variando de 0 a 1 e, para cada x, y de x^{2} a 1, usamos a ordem dy\,dx:
\text{Area}(R)=\int_{x=0}^{1}\int_{y=x^{2}}^{1} dy\,dx.
Primeiro fazemos a integral interna em y:
\int_{y=x^{2}}^{1} dy = [y]_{y=x^{2}}^{1} = 1 - x^{2}.
Agora integramos em x:
\text{Area}(R)=\int_{0}^{1} (1-x^{2})\,dx = \left[x-\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.

Passo 4

Calcular \iint_{R} f(x,y)\,dA com a mesma ordem dy\,dx:
\iint_{R} (x+y^{2})\,dA = \int_{x=0}^{1}\int_{y=x^{2}}^{1} (x+y^{2})\,dy\,dx.
Calculo da integral interna em y. Separando termos:
\int_{y=x^{2}}^{1} (x+y^{2})\,dy = \int_{x^{2}}^{1} x\,dy + \int_{x^{2}}^{1} y^{2}\,dy.
Cada termo:
\int_{x^{2}}^{1} x\,dy = x\bigl[ y \bigr]_{x^{2}}^{1} = x(1-x^{2}).
\int_{x^{2}}^{1} y^{2}\,dy = \left[\frac{y^{3}}{3}\right]_{x^{2}}^{1} = \frac{1}{3}-\frac{x^{6}}{3}.
Somando:
\int_{x^{2}}^{1} (x+y^{2})\,dy = x(1-x^{2}) + \frac{1}{3}-\frac{x^{6}}{3}.

Passo 5

Agora integramos em x de 0 a 1:
\iint_{R} (x+y^{2})\,dA = \int_{0}^{1}\left(x - x^{3} + \frac{1}{3} - \frac{x^{6}}{3}\right)\,dx.
Integramos termo a termo:
\int_{0}^{1} x\,dx = \left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{2},
\int_{0}^{1} (-x^{3})\,dx = -\left[\frac{x^{4}}{4}\right]_{0}^{1}=-\frac{1}{4},
\int_{0}^{1} \frac{1}{3}\,dx = \frac{1}{3}\left[x\right]_{0}^{1}=\frac{1}{3},
\int_{0}^{1} -\frac{x^{6}}{3}\,dx = -\frac{1}{3}\left[\frac{x^{7}}{7}\right]_{0}^{1}=-\frac{1}{21}.
Somando todos:
\iint_{R} (x+y^{2})\,dA = \frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{21}.
Fazendo as contas com denominador comum 84:
\frac{1}{2}=\frac{42}{84},\quad -\frac{1}{4}=-\frac{21}{84},\quad \frac{1}{3}=\frac{28}{84},\quad -\frac{1}{21}=-\frac{4}{84}.
Somando: \displaystyle \frac{42-21+28-4}{84}=\frac{45}{84}=\frac{15}{28}.

Passo 6

Finalmente, o valor médio é
\overline{f}=\frac{1}{\text{Area}(R)}\iint_{R} f\,dA = \frac{1}{\tfrac{2}{3}}\cdot\frac{15}{28}.
Calcule a divisão:
\frac{1}{\tfrac{2}{3}}=\frac{3}{2},
logo
\overline{f}=\frac{3}{2}\cdot\frac{15}{28}=\frac{45}{56}.
Pequena verificação mental: não dá para simplificar mais (45 e 56 não têm fatores primos em comum), então \dfrac{45}{56} é a forma final.

Resposta

\dfrac{45}{56}

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