Exercício 2-Calcule as integrais abaixo:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral dupla de
sobre a região
, que é definida por
e
. Vamos usar integrais duplas aqui, que são usadas para calcular volumes sob superfícies ou, nesse caso, somas ponderadas sobre uma área. Para resolver isso, precisamos entender os limites da região
e configurar a integral dupla corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender bem a região
. Ela está definida por dois limites para
e dois para
. O
varia de 0 a 1. Para cada valor de
,
varia de
até
. Isso forma uma espécie de trapézio no plano
.
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral dupla. A fórmula geral para uma integral dupla é:
No nosso caso,
,
,
,
e
. Então, nossa integral fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
. Integramos
com respeito a
:
Agora, aplicamos os limites de
a
:
Passo 5
Vamos calcular cada termo:
Primeiro, para
:
Segundo, para
:
Substituindo de volta:
Passo 6
Simplificando os termos:
Passo 7
Agora, integrando isso em relação a
de 0 a 1:
Vamos integrar termo por termo:
Passo 8
Calculando cada parte:
Somando tudo:
Resposta
A integral dupla é igual a 5.