Exercício 2-Calcule as integrais abaixo:
integral duplaD(2 x+y) d A, D=(x, y) ; 0 <= x <= 1, -x <= y <= 2 x+1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral dupla de 2x + y sobre a região D, que é definida por 0 <= x <= 1 e -x <= y <= 2x + 1. Vamos usar integrais duplas aqui, que são usadas para calcular volumes sob superfícies ou, nesse caso, somas ponderadas sobre uma área. Para resolver isso, precisamos entender os limites da região D e configurar a integral dupla corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender bem a região D. Ela está definida por dois limites para x e dois para y. O x varia de 0 a 1. Para cada valor de x, y varia de -x até 2x + 1. Isso forma uma espécie de trapézio no plano xy.

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral dupla. A fórmula geral para uma integral dupla é:
integral duplaD f(x, y) , dA = integrala^b ( integralc(x)^d(x) f(x, y) , dy ) dx
No nosso caso, f(x, y) = 2x + y, a = 0, b = 1, c(x) = -x e d(x) = 2x + 1. Então, nossa integral fica:
integral0^1 ( integral-x^2x+1 (2x + y) , dy ) dx

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a y. Integramos 2x + y com respeito a y:
integral (2x + y) , dy = 2x y + y^22 + C
Agora, aplicamos os limites de -x a 2x + 1:
[ 2x y + y^22 ]-x^2x+1 = ( 2x (2x + 1) + (2x + 1)^22 ) - ( 2x (-x) + (-x)^22 )

Passo 5

Vamos calcular cada termo:
Primeiro, para y = 2x + 1:
2x (2x + 1) = 4x^2 + 2x
(2x + 1)^22 = 4x^2 + 4x + 12 = 2x^2 + 2x + 12
Segundo, para y = -x:
2x (-x) = -2x^2
(-x)^22 = x^22
Substituindo de volta:
(4x^2 + 2x) + (2x^2 + 2x + 12) - (-2x^2) - x^22

Passo 6

Simplificando os termos:
4x^2 + 2x + 2x^2 + 2x + 12 + 2x^2 - x^22
(4x^2 + 2x^2 + 2x^2) - x^22 + (2x + 2x) + 12
8x^2 - x^22 + 4x + 12
16x^2 - x^22 + 4x + 12 = 15x^22 + 4x + 12

Passo 7

Agora, integrando isso em relação a x de 0 a 1:
integral0^1 ( 15x^22 + 4x + 12 ) dx
Vamos integrar termo por termo:
152 integral x^2 , dx + 4 integral x , dx + 12 integral dx
152 cdot x^33 + 4 cdot x^22 + 12 x |0^1

Passo 8

Calculando cada parte:
152 cdot 13 = 156 = 52
4 cdot 12 = 2
12 cdot 1 = 12
Somando tudo:
52 + 2 + 12 = 52 + 42 + 12 = 102 = 5

Resposta

A integral dupla é igual a 5.

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