Exercício 2. Calcule as integrais definidas abaixo.
\int_{-1 / 2}^{0} e^{2 x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-1/2}^{0} e^{2x}\,dx.
Informações dadas: o integrando é e^{2x} e os limites de integração são o inferior x=-\tfrac{1}{2} e o superior x=0. A tarefa é encontrar o valor numérico exato dessa integral.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar uma regra muito útil: a derivada de e^{ax} em relação a x é a e^{ax}. Em símbolos,
\frac{d}{dx}\big(e^{ax}\big)=a e^{ax},
onde a é uma constante. Isso nos diz que uma primitiva (antiderivada) de e^{ax} é \dfrac{1}{a}e^{ax}, pois ao derivar \dfrac{1}{a}e^{ax} voltamos a e^{ax}. Vou explicar: se F(x)=\dfrac{1}{a}e^{ax}, então
F'(x)=\dfrac{1}{a}\cdot a e^{ax}=e^{ax}.
No nosso caso, a=2.

Passo 3

Aplicando essa regra ao integrando e^{2x}, uma primitiva é
F(x)=\frac{1}{2}e^{2x}.
Se você preferir ver por substituição (passo extra, só pra fixar): faça u=2x, então du=2\,dx ou dx=\dfrac{du}{2}. A integral vira
\int e^{u}\cdot \frac{du}{2}=\frac{1}{2}\int e^{u}\,du=\frac{1}{2}e^{u}+\text{const}=\frac{1}{2}e^{2x}+\text{const},
o que confirma a primitiva F(x)=\dfrac{1}{2}e^{2x}.

Passo 4

Agora usamos o Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar a integral definida: substituímos a primitiva nos limites. Assim
\int_{-1/2}^{0} e^{2x}\,dx = F(0)-F\big(-\tfrac{1}{2}\big)
com F(x)=\dfrac{1}{2}e^{2x}.

Passo 5

Calcule F nos extremos:
F(0)=\frac{1}{2}e^{2\cdot 0}=\frac{1}{2}e^{0}=\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{2},
F\big(-\tfrac{1}{2}\big)=\frac{1}{2}e^{2\cdot(-1/2)}=\frac{1}{2}e^{-1}=\frac{1}{2}e^{-1}.
Subtraindo:
F(0)-F\big(-\tfrac{1}{2}\big)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}e^{-1}=\frac{1}{2}\big(1-e^{-1}\big).

Resposta

\dfrac{1}{2}\big(1-e^{-1}\big)

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