Exercício 2. Calcule as integrais definidas abaixo.
\int_{-1}^{2} x\left(1+x^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-1}^{2} x\left(1+x^{2}\right)\,dx.
Informações dadas: os limites de integração são x=-1 (limite inferior) e x=2 (limite superior); a função a integrar é x(1+x^{2}). A tarefa é encontrar o valor numérico dessa integral definida.

Passo 2

Primeiro simplificamos a função integranda antes de integrar, expandindo o produto:
x(1+x^{2}) = x + x^{3}.
Isto deixa a integral em forma mais simples:
\int_{-1}^{2} x\left(1+x^{2}\right)\,dx = \int_{-1}^{2} (x + x^{3})\,dx.

Passo 3

Usamos a propriedade de linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais. Ou seja,
\int_{-1}^{2} (x + x^{3})\,dx = \int_{-1}^{2} x\,dx + \int_{-1}^{2} x^{3}\,dx.
A linearidade permite tratar cada termo separadamente e somar os resultados.

Passo 4

Agora aplicamos a regra de potência para primitivação (antiderivada). A regra diz que, para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,
onde C é constante de integração. Aqui usaremos essa regra para n=1 e n=3.

Passo 5

Calculamos as primitivadas de cada termo:
\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2},\qquad \int x^{3}\,dx = \frac{x^{4}}{4}.
Portanto uma primitiva comum para x+x^{3} é
F(x)=\frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{4}.
Para uma integral definida, avaliamos F(x) nos limites e subtraímos:
\int_{-1}^{2} (x + x^{3})\,dx = F(2) - F(-1).

Passo 6

Calculamos F(2) e F(-1) passo a passo.
Primeiro,
F(2)=\frac{2^{2}}{2} + \frac{2^{4}}{4} = \frac{4}{2} + \frac{16}{4} = 2 + 4 = 6.
Em seguida,
F(-1)=\frac{(-1)^{2}}{2} + \frac{(-1)^{4}}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}.
Agora subtraímos:
F(2)-F(-1)=6 - \frac{3}{4} = \frac{24}{4} - \frac{3}{4} = \frac{21}{4}.

Resposta

\frac{21}{4}

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