Exercício 2. Calcule as integrais definidas abaixo.
\int_{3}^{5} 2 x d x

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule a integral definida
\int_{3}^{5} 2x\,dx.
Informações dadas:
  • A função que vamos integrar (integrando) é \,2x.
  • O intervalo de integração é de x=3 até x=5.
  • Queremos o valor numérico da integral definida (um número real).

Passo 2

Regra de linearidade / fator constante: quando a integranda tem um fator numérico multiplicando uma função, podemos tirá-lo para fora da integral. Ou seja,
\int_{a}^{b} c\cdot f(x)\,dx = c\int_{a}^{b} f(x)\,dx,
onde c é uma constante. Aplicando aqui com c=2 e f(x)=x, obtemos
\int_{3}^{5} 2x\,dx = 2\int_{3}^{5} x\,dx.
Isso simplifica a conta: agora precisamos apenas da integral de x no intervalo.

Passo 3

Regra do “expoente” (antiderivada): para integrar uma potência de x, usamos
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\quad\text{para }n\neq -1,
onde C é a constante de integração (importante para integrais indefinidas). Aqui temos n=1, então
\int x\,dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} + C = \frac{x^{2}}{2} + C.
Como já tiramos o 2 para fora, substituímos:
2\int_{3}^{5} x\,dx = 2\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{3}^{5}.

Passo 4

Simplificação da antiderivada: multiplicando 2 pela antiderivada \frac{x^{2}}{2}
2\cdot\frac{x^{2}}{2} = x^{2}.
Portanto podemos escolher a primitiva (antiderivada) conveniente
F(x)=x^{2}.
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo (parte 2), a integral definida é F(5)-F(3), isto é,
\int_{3}^{5} 2x\,dx = F(5)-F(3) = 5^{2} - 3^{2}.

Passo 5

Cálculo numérico passo a passo:
5^{2} = 25,\qquad 3^{2} = 9.
Logo
5^{2}-3^{2} = 25-9 = 16.

Passo 6

Interpretação rápida (pra te animar): a integral \int_{3}^{5}2x\,dx mede a área sob a curva y=2x entre x=3 e x=5. Calculando a antiderivada e subtraindo nos pontos extremos chegamos ao mesmo número, \,16. Bom trabalho — tá indo bem!

Resposta

16

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