Use o Teorema da Convolução para resolver as seguintes equações integrais:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação integral
Informações dadas:
- A incógnita é
. - Há um termo não homogêneo
. - O termo integral é uma convolução do tipo
com . - O intervalo de integração é de
a .
O que se pede: encontrar explicitamente a função
que satisfaz essa igualdade para
.
Passo 2
Ideia de resolução (explicada passo a passo): vamos usar transformada de Laplace e o Teorema da Convolução, porque a integral tem a forma de convolução e a transformada de Laplace transforma convolução em produto, o que reduz a equação integral a uma equação algébrica em
.
Primeiro, algumas fórmulas úteis e explicações rápidas:
- Definição da transformada de Laplace: para uma função
definimos
- Teorema da Convolução: se
, então
- Transformadas que vamos usar:
Observação: a transformada de
é
; aqui
.
Passo 3
Aplique transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Denote
. Usando linearidade e o Teorema da Convolução obtemos
Calcule
:
Portanto a equação em
é
Passo 4
Isolando
na equação algébrica:
Calcule o fator à esquerda:
Logo
Agora simplificamos passo a passo o numerador:
Colocando em denominação comum:
Substituindo de volta para
obtemos cancelamento:
Passo 5
Agora fazemos a transformada inversa. Primeiro decompomos em frações parciais:
(Para ver rápido: escreva
, obtenha
.)
Aplicando a transformada inversa termo a termo:
Aplicando a transformada inversa termo a termo:
Lembre que
.
Passo 6
Verificação rápida (útil para a prova): substituindo
no lado direito da integral:
-
. -
. Faça , então e a integral vira
Somando as duas contribuições:
Então o lado direito da equação original fica
que é exatamente
. Verificação satisfeita.