Use o Teorema da Convolução para resolver as seguintes equações integrais:
y(t)=1-\operatorname{sinh} t+\int_{0}^{t}(1+\tau) y(t-\tau) d \tau

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação integral
y(t)=1-\operatorname{sinh} t+\int_{0}^{t}(1+\tau)\,y(t-\tau)\,d\tau.
Informações dadas:
  • A incógnita é y(t).
  • Há um termo não homogêneo 1-\operatorname{sinh} t.
  • O termo integral é uma convolução do tipo \int_{0}^{t}f(\tau)\,y(t-\tau)\,d\tau com f(\tau)=1+\tau.
  • O intervalo de integração é de 0 a t.
O que se pede: encontrar explicitamente a função y(t) que satisfaz essa igualdade para t\ge 0.

Passo 2

Ideia de resolução (explicada passo a passo): vamos usar transformada de Laplace e o Teorema da Convolução, porque a integral tem a forma de convolução e a transformada de Laplace transforma convolução em produto, o que reduz a equação integral a uma equação algébrica em s.
Primeiro, algumas fórmulas úteis e explicações rápidas:
  • Definição da transformada de Laplace: para uma função f(t) definimos
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt.
  • Teorema da Convolução: se (f*g)(t)=\int_{0}^{t} f(\tau) g(t-\tau)\,d\tau, então
\mathcal{L}\{f*g\}(s)=\mathcal{L}\{f\}(s)\cdot \mathcal{L}\{g\}(s).
  • Transformadas que vamos usar:
\mathcal{L}\{1\}(s)=\frac{1}{s},\qquad \mathcal{L}\{t\}(s)=\frac{1}{s^{2}},\qquad \mathcal{L}\{\operatorname{sinh} t\}(s)=\frac{1}{s^{2}-1}.
Observação: a transformada de \operatorname{sinh} at é a/(s^{2}-a^{2}); aqui a=1.

Passo 3

Aplique transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Denote \mathcal{L}\{y\}(s)=Y(s). Usando linearidade e o Teorema da Convolução obtemos
Y(s)=\frac{1}{s}-\frac{1}{s^{2}-1}+ \mathcal{L}\{1+\tau\}(s)\cdot Y(s).
Calcule \mathcal{L}\{1+\tau\}(s):
\mathcal{L}\{1+\tau\}(s)=\mathcal{L}\{1\}(s)+\mathcal{L}\{t\}(s)=\frac{1}{s}+\frac{1}{s^{2}}=\frac{s+1}{s^{2}}.
Portanto a equação em Y(s) é
Y(s)=\frac{1}{s}-\frac{1}{s^{2}-1}+\frac{s+1}{s^{2}}\,Y(s).

Passo 4

Isolando Y(s) na equação algébrica:
Y(s)\left(1-\frac{s+1}{s^{2}}\right)=\frac{1}{s}-\frac{1}{s^{2}-1}.
Calcule o fator à esquerda:
1-\frac{s+1}{s^{2}}=\frac{s^{2}-(s+1)}{s^{2}}=\frac{s^{2}-s-1}{s^{2}}.
Logo
Y(s)=\left(\frac{1}{s}-\frac{1}{s^{2}-1}\right)\cdot\frac{s^{2}}{s^{2}-s-1}.
Agora simplificamos passo a passo o numerador:
s^{2}\left(\frac{1}{s}-\frac{1}{s^{2}-1}\right)=s-\frac{s^{2}}{s^{2}-1}.
Colocando em denominação comum:
s-\frac{s^{2}}{s^{2}-1}=\frac{s(s^{2}-1)-s^{2}}{s^{2}-1}=\frac{s^{3}-s-s^{2}}{s^{2}-1}=\frac{s\,(s^{2}-s-1)}{s^{2}-1}.
Substituindo de volta para Y(s) obtemos cancelamento:
Y(s)=\frac{\dfrac{s\,(s^{2}-s-1)}{s^{2}-1}}{s^{2}-s-1}=\frac{s}{s^{2}-1}.

Passo 5

Agora fazemos a transformada inversa. Primeiro decompomos em frações parciais:
\frac{s}{s^{2}-1}=\frac{s}{(s-1)(s+1)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{s-1}+\frac{1}{s+1}\right).
(Para ver rápido: escreva \dfrac{s}{(s-1)(s+1)}=\dfrac{A}{s-1}+\dfrac{B}{s+1}, obtenha A=B=\tfrac{1}{2}.)
Aplicando a transformada inversa termo a termo:
y(t)=\mathcal{L}^{-1}\{Y(s)\}(t)=\frac{1}{2}e^{t}+\frac{1}{2}e^{-t}=\operatorname{cosh} t.
Lembre que \operatorname{cosh} t=\tfrac{1}{2}(e^{t}+e^{-t}).

Passo 6

Verificação rápida (útil para a prova): substituindo y(t)=\operatorname{cosh} t no lado direito da integral:
  • \displaystyle \int_{0}^{t}\operatorname{cosh}(t-\tau)\,d\tau=\operatorname{sinh} t.
  • \displaystyle \int_{0}^{t}\tau\operatorname{cosh}(t-\tau)\,d\tau. Faça u=t-\tau, então \tau=t-u e a integral vira
\int_{0}^{t}(t-u)\operatorname{cosh} u\,du=t\int_{0}^{t}\operatorname{cosh} u\,du-\int_{0}^{t}u\operatorname{cosh} u\,du =t\operatorname{sinh} t-\bigl[t\operatorname{sinh} t-\operatorname{cosh} t+1\bigr]=\operatorname{cosh} t-1.
Somando as duas contribuições:
\int_{0}^{t}(1+\tau)\operatorname{cosh}(t-\tau)\,d\tau=\operatorname{sinh} t+(\operatorname{cosh} t-1)=\operatorname{sinh} t+\operatorname{cosh} t-1.
Então o lado direito da equação original fica
1-\operatorname{sinh} t+\bigl(\operatorname{sinh} t+\operatorname{cosh} t-1\bigr)=\operatorname{cosh} t,
que é exatamente y(t). Verificação satisfeita.

Resposta

\;y(t)=\operatorname{cosh} t\;

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