Exercício 1. Calcule as integrais indefinidas abaixo.
\int x^{2}\left(e^{2 x^{3}}+3 x\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x^{2}\bigl(e^{2 x^{3}}+3 x\bigr)\,dx.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A variável de integração é x.
  • A função a integrar (o integrando) é x^{2}\bigl(e^{2 x^{3}}+3 x\bigr).
  • É uma integral indefinida, ou seja, queremos uma primitiva (antiderivada) da função, definida a menos de uma constante C.
  • Não há outras condições (domínio, valores iniciais) fornecidas.

Passo 2

Observação inicial sobre linearidade: podemos usar a propriedade de linearidade da integral, que diz que
\int \bigl(f(x)+g(x)\bigr)\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx,
e que constantes podem ser tiradas para fora da integral:
\int a\cdot f(x)\,dx = a\int f(x)\,dx.
Vou aplicar essas propriedades para separar a integral em partes mais fáceis de resolver. Também vou usar técnicas básicas que você precisa saber:
  • Substituição simples (trocar uma expressão por uma nova variável quando a derivada aparece multiplicando).
  • Regra do poder para integrais de polinômios: \int x^{n}\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C para n\neq -1.
  • Integral de exponencial linear: \int e^{a u}\,du = \dfrac{1}{a}e^{a u}+C.

Passo 3

Use a linearidade para separar a integral:
\int x^{2}\bigl(e^{2 x^{3}}+3 x\bigr)\,dx = \int x^{2}e^{2 x^{3}}\,dx + \int 3x^{3}\,dx.
Agora temos duas integrais mais simples: \int x^{2}e^{2 x^{3}}\,dx e \int 3x^{3}\,dx.

Passo 4

Calcule a primeira integral \int x^{2}e^{2 x^{3}}\,dx usando substituição. Escolhemos a substituição
u = x^{3}.
Explico: escolhemos u=x^{3} porque a derivada de x^{3} é 3x^{2}, e no integrando aparece um x^{2}, então dá para relacionar dx com du.
Compute du:
du = 3x^{2}\,dx \quad\Rightarrow\quad x^{2}\,dx = \frac{1}{3}\,du.
Substituindo na integral:
\int x^{2}e^{2 x^{3}}\,dx = \int e^{2u}\cdot\frac{1}{3}\,du = \frac{1}{3}\int e^{2u}\,du.
Agora usamos a fórmula da integral da exponencial: para constante a,
\int e^{a u}\,du = \frac{1}{a}e^{a u}+C.
Aplicando com a=2:
\frac{1}{3}\int e^{2u}\,du = \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}e^{2u} = \frac{1}{6}e^{2u}.
Voltando para x (retro-substituição), temos:
\int x^{2}e^{2 x^{3}}\,dx = \frac{1}{6}e^{2 x^{3}}.

Passo 5

Calcule a segunda integral \int 3x^{3}\,dx. Puxamos a constante 3 para fora:
\int 3x^{3}\,dx = 3\int x^{3}\,dx.
Aplicamos a regra do poder \int x^{n}\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C com n=3:
\int x^{3}\,dx = \frac{x^{4}}{4}.
Portanto
3\int x^{3}\,dx = 3\cdot\frac{x^{4}}{4} = \frac{3}{4}x^{4}.

Passo 6

Some as duas primitivas obtidas e acrescente a constante de integração C:
\int x^{2}\bigl(e^{2 x^{3}}+3 x\bigr)\,dx = \frac{1}{6}e^{2 x^{3}} + \frac{3}{4}x^{4} + C.
Antes de terminar, uma verificação rápida (é útil na prova): derive o resultado e confirme que volta ao integrando.
  • Derivada de \dfrac{1}{6}e^{2x^{3}}:
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{6}e^{2x^{3}}\right) = \frac{1}{6}e^{2x^{3}}\cdot(6x^{2}) = x^{2}e^{2x^{3}}.
  • Derivada de \dfrac{3}{4}x^{4}:
\frac{d}{dx}\left(\frac{3}{4}x^{4}\right) = \frac{3}{4}\cdot 4x^{3} = 3x^{3}.
Somando dá exatamente x^{2}e^{2x^{3}}+3x^{3}, que é o integrando original. Está correto!

Resposta

\dfrac{1}{6}e^{2 x^{3}}+\dfrac{3}{4}x^{4}+C

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