Exercício 1. Calcule as integrais indefinidas abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas e o que é pedido:
- A variável de integração é
. - A função a integrar (o integrando) é
. - É uma integral indefinida, ou seja, queremos uma primitiva (antiderivada) da função, definida a menos de uma constante
. - Não há outras condições (domínio, valores iniciais) fornecidas.
Passo 2
Observação inicial sobre linearidade: podemos usar a propriedade de linearidade da integral, que diz que
e que constantes podem ser tiradas para fora da integral:
Vou aplicar essas propriedades para separar a integral em partes mais fáceis de resolver. Também vou usar técnicas básicas que você precisa saber:
- Substituição simples (trocar uma expressão por uma nova variável quando a derivada aparece multiplicando).
- Regra do poder para integrais de polinômios:
para . - Integral de exponencial linear:
.
Passo 3
Use a linearidade para separar a integral:
Agora temos duas integrais mais simples:
e
.
Passo 4
Calcule a primeira integral
usando substituição. Escolhemos a substituição
Explico: escolhemos
porque a derivada de
é
, e no integrando aparece um
, então dá para relacionar
com
.
Compute
:
Substituindo na integral:
Agora usamos a fórmula da integral da exponencial: para constante
,
Aplicando com
:
Voltando para
(retro-substituição), temos:
Passo 5
Calcule a segunda integral
. Puxamos a constante
para fora:
Aplicamos a regra do poder
com
:
Portanto
Passo 6
Some as duas primitivas obtidas e acrescente a constante de integração
:
Antes de terminar, uma verificação rápida (é útil na prova): derive o resultado e confirme que volta ao integrando.
- Derivada de
:
- Derivada de
:
Somando dá exatamente
, que é o integrando original. Está correto!