Exercício 9. Calcule as integrais definidas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações relevantes fornecidas:
- O integrando é a função
. - Os limites de integração são simétricos:
e . - Queremos o valor numérico da integral definida.
Passo 2
Observe o integrando termo a termo:
Vamos verificar uma propriedade simples de cada termo. Definimos que uma função
é ímpar se, para todo
, vale
. Agora calculemos
:
Usando potências ímpares, temos
,
e
. Portanto,
Concluímos que
é uma função ímpar.
Passo 3
Propriedade importante (com demonstração curta): se
é ímpar e integrável em
, então
Demonstração por substituição: seja
. Fazendo
obtemos
Como
é ímpar,
. Logo
o que implica
. Intuitivamente, as áreas à esquerda e à direita da origem se cancelam.
Passo 4
Aplicando a propriedade ao nosso caso: como mostramos no Passo 2 que
é ímpar e os limites são simétricos
, então
Pronto — essa é a maneira mais rápida e elegante.
Passo 5
Para aprender como fazer se você não lembrar da propriedade anterior, vou mostrar um método alternativo (verificação) calculando a primitiva e avaliando nos limites. Regra do poder: para
,
Aplicando termo a termo:
Chamando
, a integral definida é
.
Passo 6
Calcule
e
:
Colocando em denominador comum
:
Agora
:
Portanto
confirmando o resultado do método pela paridade.