Exercício 9. Calcule as integrais definidas:
\int_{-1}^{1}\left(x^{5}+x^{3}-x\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-1}^{1}\left(x^{5}+x^{3}-x\right)\,dx.
Informações relevantes fornecidas:
  • O integrando é a função f(x)=x^{5}+x^{3}-x.
  • Os limites de integração são simétricos: a=-1 e b=1.
  • Queremos o valor numérico da integral definida.

Passo 2

Observe o integrando termo a termo:
f(x)=x^{5}+x^{3}-x
Vamos verificar uma propriedade simples de cada termo. Definimos que uma função g é ímpar se, para todo x, vale g(-x)=-g(x). Agora calculemos f(-x):
f(-x)=(-x)^{5}+(-x)^{3}-(-x).
Usando potências ímpares, temos (-x)^{5}=-x^{5}, (-x)^{3}=-x^{3} e -(-x)=x. Portanto,
f(-x)=-x^{5}-x^{3}+x = -\bigl(x^{5}+x^{3}-x\bigr) = -f(x).
Concluímos que f é uma função ímpar.

Passo 3

Propriedade importante (com demonstração curta): se f é ímpar e integrável em [-a,a], então
\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 0.
Demonstração por substituição: seja I=\int_{-a}^{a} f(x)\,dx. Fazendo u=-x obtemos
I=\int_{a}^{-a} f(-u)(-du)=\int_{-a}^{a} f(-u)\,du.
Como f é ímpar, f(-u)=-f(u). Logo
I=\int_{-a}^{a} -f(u)\,du = -\int_{-a}^{a} f(u)\,du = -I,
o que implica I=0. Intuitivamente, as áreas à esquerda e à direita da origem se cancelam.

Passo 4

Aplicando a propriedade ao nosso caso: como mostramos no Passo 2 que f(x)=x^{5}+x^{3}-x é ímpar e os limites são simétricos [-1,1], então
\int_{-1}^{1}\left(x^{5}+x^{3}-x\right)\,dx = 0.
Pronto — essa é a maneira mais rápida e elegante.

Passo 5

Para aprender como fazer se você não lembrar da propriedade anterior, vou mostrar um método alternativo (verificação) calculando a primitiva e avaliando nos limites. Regra do poder: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aplicando termo a termo:
\int\left(x^{5}+x^{3}-x\right)\,dx = \frac{x^{6}}{6}+\frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{2}}{2}+C.
Chamando F(x)=\frac{x^{6}}{6}+\frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{2}}{2}, a integral definida é F(1)-F(-1).

Passo 6

Calcule F(1) e F(-1):
F(1)=\frac{1^{6}}{6}+\frac{1^{4}}{4}-\frac{1^{2}}{2}=\frac{1}{6}+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}.
Colocando em denominador comum 12:
F(1)=\frac{2}{12}+\frac{3}{12}-\frac{6}{12}=-\frac{1}{12}.
Agora F(-1):
F(-1)=\frac{(-1)^{6}}{6}+\frac{(-1)^{4}}{4}-\frac{(-1)^{2}}{2}=\frac{1}{6}+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{12}.
Portanto
\int_{-1}^{1}\left(x^{5}+x^{3}-x\right)\,dx = F(1)-F(-1)= -\frac{1}{12}-\left(-\frac{1}{12}\right)=0,
confirmando o resultado do método pela paridade.

Resposta

0

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