8.1B Calcule a área da região delimitada pelo eixo x, pelas retas x= pm B, B>0, e pelo gráfico da função y=x^2 exp (-|x^3|). Esta área tem um limite com B infty ? (resp. 23+23 e^-B^3 ; área limite 2/3)

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelo eixo x, pelas retas x=pm B (com B>0) e pelo gráfico da função
y = x^2 expl(-lvert x^3rvertr)
Este é um problema de cálculo de integral definida, aproveitando que a função é par e usando substituição para integrar.

Passo 2

Escrevemos a área A(B) como
A(B)=integral-B^B x^2,e^-lvert x^3rvert,dx
Como x^2e^-lvert x^3rvert é função par, temos
A(B)=2integral0^B x^2e^-x^3,dx

Passo 3

Para calcular integral0^B x^2e^-x^3,dx fazemos a substituição
u = x^3, du = 3x^2dx Longrightarrow x^2dx = du3
Quando x vai de 0 a B, u vai de 0 a B^3.

Passo 4

Com a substituição a integral fica
integral0^B x^2e^-x^3,dx = 13integral0^B^3 e^-u,du = 13l[-e^-ur]0^B^3 = 13l(1 - e^-B^3r)
Logo
A(B) = 2cdot13l(1 - e^-B^3r) = 23l(1 - e^-B^3r)

Passo 5

Para Btoinfty temos e^-B^3to 0, então
limBtoinftyA(B) = 23l(1 - 0r) = 23

Resposta

A(B)=23l(1 - e^-B^3r),
e o limite quando Btoinfty é tfrac23.

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