Exercício 1. Calcule as integrais
b)
onde
b)
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral tripla
no sólido retangular
Informações dadas:
- A região
é um paralelepípedo com limites , , . - O integrando é
.
A tarefa é avaliar essa integral numérica.
Passo 2
Usamos a Fubini para integrar iteradamente (a função é contínua no retângulo, então a ordem de integração pode ser escolhida). Integramos primeiro em
, tratando
e
como constantes. Para isso usamos a primitiva de
em
:
onde
é uma constante (aqui
). Observação técnica: quando
a fórmula direta apresenta divisão por zero, mas isso ocorre em conjunto de medida zero e a expressão resultante obtida por passagem ao limite coincide com o valor integrável — podemos usar a primitiva para
e o resultado é válido por continuidade. Portanto:
Simplificando
, obtemos
Passo 3
Agora integramos em
de
a
:
Usamos a primitiva
com
e
. Calculamos cada termo:
Subtraindo os dois resultados:
Simplificando:
Passo 4
Agora resta integrar em
de
a
:
Calculamos primitivas termo a termo:
Portanto a antiderivada da soma é
Avaliamos entre
e
.
Passo 5
Avaliação nos extremos:
- Para
: e . Logo
Calculando o fator:
Assim o valor no superior é
.
- Para
: todos os termos são zero, pois e o termo em também é zero.
Subtraindo, o valor da integral total é