Exercício 1. Calcule as integrais
b) \iiint_{R} x^{2} y \cos (x y z) d V onde R=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid 0 \leq x \leq \pi / 4,0 \leq y \leq 1,1 \leq z \leq 3\right\}

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral tripla
\iiint_{R} x^{2}y\cos(xyz)\,dV
no sólido retangular
R=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid 0\le x\le \pi/4,\;0\le y\le1,\;1\le z\le3\}.
Informações dadas:
  • A região R é um paralelepípedo com limites x\in[0,\pi/4], y\in[0,1], z\in[1,3].
  • O integrando é x^{2}y\cos(xyz).
    A tarefa é avaliar essa integral numérica.

Passo 2

Usamos a Fubini para integrar iteradamente (a função é contínua no retângulo, então a ordem de integração pode ser escolhida). Integramos primeiro em z, tratando x e y como constantes. Para isso usamos a primitiva de \cos(a z) em z:
\int \cos(a z)\,dz = \frac{1}{a}\sin(a z),
onde a é uma constante (aqui a=xy). Observação técnica: quando xy=0 a fórmula direta apresenta divisão por zero, mas isso ocorre em conjunto de medida zero e a expressão resultante obtida por passagem ao limite coincide com o valor integrável — podemos usar a primitiva para xy\neq0 e o resultado é válido por continuidade. Portanto:
\int_{z=1}^{3} x^{2}y\cos(xyz)\,dz = x^{2}y\left[\frac{1}{xy}\sin(xyz)\right]_{z=1}^{z=3}.
Simplificando x^{2}y\cdot\frac{1}{xy}=x, obtemos
\int_{1}^{3} x^{2}y\cos(xyz)\,dz = x\big(\sin(3xy)-\sin(xy)\big).

Passo 3

Agora integramos em y de 0 a 1:
\int_{y=0}^{1} x\big(\sin(3xy)-\sin(xy)\big)\,dy = x\int_{0}^{1}\sin(3xy)\,dy - x\int_{0}^{1}\sin(xy)\,dy.
Usamos a primitiva \int \sin(b y)\,dy = -\dfrac{1}{b}\cos(by) com b=3x e b=x. Calculamos cada termo:
x\int_{0}^{1}\sin(3xy)\,dy = x\left[-\frac{1}{3x}\cos(3xy)\right]_{0}^{1} = -\frac{1}{3}\big(\cos(3x)-\cos(0)\big) = \frac{1}{3}\big(1-\cos(3x)\big),
x\int_{0}^{1}\sin(xy)\,dy = x\left[-\frac{1}{x}\cos(xy)\right]_{0}^{1} = -\big(\cos(x)-\cos(0)\big) = 1-\cos(x).
Subtraindo os dois resultados:
\int_{0}^{1} x\big(\sin(3xy)-\sin(xy)\big)\,dy = \frac{1}{3}\big(1-\cos(3x)\big) - \big(1-\cos(x)\big).
Simplificando:
\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\cos(3x)-1+\cos(x) = \cos(x)-\frac{1}{3}\cos(3x)-\frac{2}{3}.

Passo 4

Agora resta integrar em x de 0 a \pi/4:
\int_{0}^{\pi/4}\left(\cos(x)-\frac{1}{3}\cos(3x)-\frac{2}{3}\right)\,dx.
Calculamos primitivas termo a termo:
\int \cos(x)\,dx = \sin(x), \qquad \int \cos(3x)\,dx = \frac{1}{3}\sin(3x), \qquad \int \left(-\frac{2}{3}\right)\,dx = -\frac{2}{3}x.
Portanto a antiderivada da soma é
\sin(x) - \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}\sin(3x) - \frac{2}{3}x = \sin(x) - \frac{1}{9}\sin(3x) - \frac{2}{3}x.
Avaliamos entre 0 e \pi/4.

Passo 5

Avaliação nos extremos:
  • Para x=\pi/4: \sin(\pi/4)=\dfrac{\sqrt{2}}{2} e \sin(3\pi/4)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Logo
\sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right) - \frac{1}{9}\sin\!\left(\frac{3\pi}{4}\right) - \frac{2}{3}\cdot\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\Big(1-\frac{1}{9}\Big) - \frac{\pi}{6}.
Calculando o fator:
\frac{\sqrt{2}}{2}\Big(1-\frac{1}{9}\Big)=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{8}{9}=\frac{4\sqrt{2}}{9}.
Assim o valor no superior é \dfrac{4\sqrt{2}}{9}-\dfrac{\pi}{6}.
  • Para x=0: todos os termos são zero, pois \sin 0=0 e o termo em x também é zero.
Subtraindo, o valor da integral total é
\frac{4\sqrt{2}}{9}-\frac{\pi}{6}.

Resposta

\dfrac{4\sqrt{2}}{9}-\dfrac{\pi}{6}

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