Exercício 1. Calcule as integrais
a) \iiint_{R} y \sin (x y) z^{2} d V onde R=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid 1 \leq x \leq 3,0 \leq y \leq \pi / 2,-2 \leq z \leq 3\right\}

Passo 1

O problema pede para calcular a integral tripla
\iiint_{R} y \sin(xy) z^{2}\,dV
onde a região R é o paralelepípedo com limites constantes:
  • 1 \leq x \leq 3,
  • 0 \leq y \leq \pi/2,
  • -2 \leq z \leq 3.
Em outras palavras, é avaliar a integral de f(x,y,z)=y\sin(xy)z^{2} sobre o domínio R=[1,3]\times[0,\pi/2]\times[-2,3].

Passo 2

Observações úteis (sem ainda resolver): como os limites de integração são constantes (não dependem de outras variáveis), podemos aplicar o Teorema de Fubini para trocar a ordem de integração e decompor a integral iteradamente. O integrando é y\sin(xy)z^{2}: note que a parte em z é z^{2} (depende só de z), enquanto a parte em x,y é y\sin(xy) (mistura x e y). Para simplificar cálculos é interessante integrar em x primeiro, porque
\int \sin(xy)\,dx = -\frac{1}{y}\cos(xy),
e o fator y multiplicando \sin(xy) cancela o 1/y do primitivo, deixando algo simples em y. Portanto escolho a ordem dx\,dy\,dz.

Passo 3

Escrevo a integral como iterada na ordem x, depois y, depois z:
\iiint_{R} y\sin(xy)z^{2}\,dV = \int_{z=-2}^{3}\left(\int_{y=0}^{\pi/2}\left(\int_{x=1}^{3} y\sin(xy)\,dx\right) dy\right) z^{2}\,dz.
Aqui z^{2} pode ser tratada como constante nas integrais internas em x e y, pois depende só de z.

Passo 4

Calculo a integral interna em x:
\int_{x=1}^{3} y\sin(xy)\,dx.
Para integrar \sin(xy) em relação a x, uso a primitiva \int \sin(xy)\,dx = -\dfrac{1}{y}\cos(xy) (verificação: derivando -\dfrac{1}{y}\cos(xy) em x obtém-se \sin(xy)). Multiplicando por y temos
\int_{x=1}^{3} y\sin(xy)\,dx = y\left[-\frac{1}{y}\cos(xy)\right]_{x=1}^{x=3} = \left[-\cos(xy)\right]_{x=1}^{x=3}.
Avalio os limites em x:
\left[-\cos(xy)\right]_{1}^{3} = -\cos(3y) - \big(-\cos(y)\big) = \cos(y) - \cos(3y).
Portanto a integral interna resulta em \cos(y)-\cos(3y), que depende apenas de y.

Passo 5

Substituo o resultado e passo a calcular a integral em y:
\int_{y=0}^{\pi/2} \big(\cos(y)-\cos(3y)\big)\,dy.
Calculo as duas integrais separadamente:
\int_{0}^{\pi/2} \cos(y)\,dy = \big[\sin(y)\big]_{0}^{\pi/2} = \sin(\pi/2)-\sin(0)=1-0=1,
\int_{0}^{\pi/2} \cos(3y)\,dy = \left[\frac{1}{3}\sin(3y)\right]_{0}^{\pi/2} = \frac{1}{3}\big(\sin(3\pi/2)-\sin(0)\big) = \frac{1}{3}(-1-0) = -\frac{1}{3}.
Agora a diferença:
\int_{0}^{\pi/2} \big(\cos(y)-\cos(3y)\big)\,dy = 1 - \left(-\frac{1}{3}\right) = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}.

Passo 6

Agora resta a integral em z. Lembrando que a integral anterior produziu o fator \dfrac{4}{3} que é constante em z, temos
\int_{z=-2}^{3} z^{2}\,dz.
Calculo a primitiva: \int z^{2}\,dz = \dfrac{z^{3}}{3}. Avaliando nos limites:
\left[\frac{z^{3}}{3}\right]_{-2}^{3} = \frac{3^{3}}{3} - \frac{(-2)^{3}}{3} = \frac{27}{3} - \frac{-8}{3} = 9 + \frac{8}{3} = \frac{35}{3}.

Passo 7

A integral tripla é o produto dos resultados obtidos em y e em z:
\left(\frac{4}{3}\right)\cdot\left(\frac{35}{3}\right).

Resposta

\dfrac{140}{9}

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