Exercício 1. Calcule as integrais
a)
onde
a)
Passo 1
O problema pede para calcular a integral tripla
onde a região
é o paralelepípedo com limites constantes:
-
, -
, -
.
Em outras palavras, é avaliar a integral de
sobre o domínio
.
Passo 2
Observações úteis (sem ainda resolver): como os limites de integração são constantes (não dependem de outras variáveis), podemos aplicar o Teorema de Fubini para trocar a ordem de integração e decompor a integral iteradamente. O integrando é
: note que a parte em
é
(depende só de
), enquanto a parte em
é
(mistura
e
). Para simplificar cálculos é interessante integrar em
primeiro, porque
e o fator
multiplicando
cancela o
do primitivo, deixando algo simples em
. Portanto escolho a ordem
.
Passo 3
Escrevo a integral como iterada na ordem
, depois
, depois
:
Aqui
pode ser tratada como constante nas integrais internas em
e
, pois depende só de
.
Passo 4
Calculo a integral interna em
:
Para integrar
em relação a
, uso a primitiva
(verificação: derivando
em
obtém-se
). Multiplicando por
temos
Avalio os limites em
:
Portanto a integral interna resulta em
, que depende apenas de
.
Passo 5
Substituo o resultado e passo a calcular a integral em
:
Calculo as duas integrais separadamente:
Agora a diferença:
Passo 6
Agora resta a integral em
. Lembrando que a integral anterior produziu o fator
que é constante em
, temos
Calculo a primitiva:
. Avaliando nos limites:
Passo 7
A integral tripla é o produto dos resultados obtidos em
e em
: