Exercício 4. Calcule a integral iterada \int_{-1}^{1} \int_{0}^{1} \int_{y}^{1} \frac{e^{x}+\cos x+z}{x} d x d y d z.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{-1}^{1}\int_{0}^{1}\int_{y}^{1}\frac{e^{x}+\cos x+z}{x}\,dx\,dy\,dz.
Informações dadas:
  • A integral interna é em x com limites x=y até x=1.
  • A integral do meio é em y com limites y=0 até y=1.
  • A integral externa é em z com limites z=-1 até z=1.
  • A função integranda é \dfrac{e^{x}+\cos x+z}{x}.
Observação importante (sem resolver ainda): há uma aparente singularidade quando x=0 por causa do denominador x. Vou tratar disso nas próximas etapas antes de fazer as integrais.

Passo 2

Analisar a região de integração no plano (x,y) e a singularidade em x=0.
  • A condição 0\le y\le1 e y\le x\le1 define a região triangular D=\{(x,y)\mid 0\le y\le x\le1\}.
  • Note que a linha x=0 intersecta essa região apenas no ponto (x,y)=(0,0). Ou seja, o possível problema x=0 ocorre apenas em um único ponto da região D.
  • Integrais de Riemann/Lebesgue não são afetadas por o valor da função em um conjunto de medida zero; um ponto tem medida zero. Portanto a singularidade pontual em (0,0) não impede que o integral triple exista, e podemos trocar a ordem de integração desde que procedamos corretamente (a troca que usarei é natural e resolve o problema da divisão por x).

Passo 3

Trocar a ordem da integração entre x e y. A região \{(x,y)\mid 0\le y\le x\le1\} pode ser descrita por
0\le x\le1,\qquad 0\le y\le x.
Assim a integral original pode ser reescrita, integrando primeiro em y:
\int_{z=-1}^{1}\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{x}\frac{e^{x}+\cos x+z}{x}\,dy\,dx\,dz.
Explicação didática: trocando a ordem, para cada x fixo em [0,1] o y varia de 0 até x. Isso é equivalente à descrição original da região triangular.

Passo 4

Calcular a integral em y:
\int_{y=0}^{x}\frac{e^{x}+\cos x+z}{x}\,dy.
A função \dfrac{e^{x}+\cos x+z}{x} é, para x fixo (diferente de zero), constante em y. Integrar uma constante em y é multiplicar pela largura do intervalo em y, que é x-0=x. Logo:
\int_{0}^{x}\frac{e^{x}+\cos x+z}{x}\,dy = \frac{e^{x}+\cos x+z}{x}\cdot x = e^{x}+\cos x+z.
Observação importante: aqui o fator x cancela com o 1/x, removendo a singularidade aparente; para x=0 essa operação corresponde ao limite (e, como já argumentado, o ponto x=0,y=0 não altera o valor do integral).

Passo 5

Agora a integral reduz-se a
\int_{z=-1}^{1}\int_{x=0}^{1}\bigl(e^{x}+\cos x+z\bigr)\,dx\,dz.
Calcule primeiro a integral em x. Para cada z fixo:
\int_{0}^{1}\bigl(e^{x}+\cos x+z\bigr)\,dx = \left[e^{x}+\sin x + z x\right]_{0}^{1}.
Avaliação dos limites:
\left[e^{x}+\sin x + z x\right]_{0}^{1} = \bigl(e^{1}+\sin 1 + z\cdot 1\bigr)-\bigl(e^{0}+\sin 0 + z\cdot 0\bigr) = e-1 + \sin 1 + z.

Passo 6

Agora resta integrar em z sobre [-1,1]:
\int_{-1}^{1}\bigl(e-1+\sin 1 + z\bigr)\,dz.
Separe em duas partes:
\int_{-1}^{1}\bigl(e-1+\sin 1\bigr)\,dz + \int_{-1}^{1} z\,dz.
  • A primeira parte é \bigl(e-1+\sin 1\bigr)\cdot (1-(-1)) = 2\bigl(e-1+\sin 1\bigr).
  • A segunda parte é zero, porque \int_{-1}^{1} z\,dz = 0 (função ímpar integrada em intervalo simétrico).
Portanto o valor final da integral é
2\bigl(e-1+\sin 1\bigr).

Resposta

2\bigl(e-1+\sin 1\bigr)

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