Exercício 4. Calcule a integral iterada
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral iterada
Informações dadas:
- A integral interna é em
com limites até . - A integral do meio é em
com limites até . - A integral externa é em
com limites até . - A função integranda é
.
Observação importante (sem resolver ainda): há uma aparente singularidade quando
por causa do denominador
. Vou tratar disso nas próximas etapas antes de fazer as integrais.
Passo 2
Analisar a região de integração no plano
e a singularidade em
.
- A condição
e define a região triangular - Note que a linha
intersecta essa região apenas no ponto . Ou seja, o possível problema ocorre apenas em um único ponto da região . - Integrais de Riemann/Lebesgue não são afetadas por o valor da função em um conjunto de medida zero; um ponto tem medida zero. Portanto a singularidade pontual em
não impede que o integral triple exista, e podemos trocar a ordem de integração desde que procedamos corretamente (a troca que usarei é natural e resolve o problema da divisão por ).
Passo 3
Trocar a ordem da integração entre
e
. A região
pode ser descrita por
Assim a integral original pode ser reescrita, integrando primeiro em
:
Explicação didática: trocando a ordem, para cada
fixo em
o
varia de
até
. Isso é equivalente à descrição original da região triangular.
Passo 4
Calcular a integral em
:
A função
é, para
fixo (diferente de zero), constante em
. Integrar uma constante em
é multiplicar pela largura do intervalo em
, que é
. Logo:
Observação importante: aqui o fator
cancela com o
, removendo a singularidade aparente; para
essa operação corresponde ao limite (e, como já argumentado, o ponto
não altera o valor do integral).
Passo 5
Agora a integral reduz-se a
Calcule primeiro a integral em
. Para cada
fixo:
Avaliação dos limites:
Passo 6
Agora resta integrar em
sobre
:
Separe em duas partes:
- A primeira parte é
. - A segunda parte é zero, porque
(função ímpar integrada em intervalo simétrico).
Portanto o valor final da integral é