Dada z=f(x, y), encontre as derivadas parciais indicadas.
z=raizx^2+y^2 ; fx y(1,0), fy x(1,0)

Passo 1

O enunciado dá a função
z = f(x,y) = raizx^2 + y^2
e pede as derivadas parciais mistas ,fxy(1,0) e ,fyx(1,0). Vamos aplicar derivação parcial duas vezes, usando a regra da cadeia e depois avaliar em (x,y)=(1,0).

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais de primeira ordem. Como
f(x,y) = (x^2 + y^2)^1/2,
pela regra da cadeia temos
fx = 12(x^2+y^2)^-1/2cdot 2x = xraizx^2+y^2,
fy = 12(x^2+y^2)^-1/2cdot 2y = yraizx^2+y^2

Passo 3

Agora derivamos fx em relação a y para obter fxy. Escrevendo
fx = x,(x^2+y^2)^-1/2,
aplicamos a regra do produto (embora x seja tratado como constante ao derivar em y) e a regra da cadeia:
fxy = x cdot l(-tfrac12r)(x^2+y^2)^-3/2cdot 2y = -,x,y(x^2+y^2)^3/2
De modo análogo, para fyx derivamos fy em relação a x:
fyx = y cdot l(-tfrac12r)(x^2+y^2)^-3/2cdot 2x = -,x,y(x^2+y^2)^3/2

Passo 4

Basta agora avaliar em (x,y)=(1,0). Como y=0 aparece no numerador, temos
fxy(1,0) = -1cdot 0(1^2+0^2)^3/2 = 0,
fyx(1,0) = -1cdot 0(1^2+0^2)^3/2 = 0

Resposta

fxy(1,0) = 0, fyx(1,0) = 0

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