Exercício 1. Calcule as integrais indefinidas abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
.
Informações dadas:
integrando é a função
.
A tarefa é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função tal que
. Não foi dada nenhuma condição inicial, então a primitiva deve incluir a constante de integração
.
Informações dadas:
A tarefa é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função
Passo 2
Usaremos duas propriedades básicas e muito úteis das integrais:
- linearidade da integral (a integral da soma é a soma das integrais) e fator constante (um escalar sai da integral). Em fórmulas:
onde
e
são constantes e
são funções integráveis. Aqui
em parte do integrando e
na outra parte.
Aplicando isso à nossa integral:
Passo 3
Trabalhando a primeira integral
.
Observação:
. Usando o fator constante:
Agora a fórmula básica: a primitiva de
é o logaritmo natural com valor absoluto:
Explicação curta do porquê do valor absoluto: a derivada de
é
para
, então
funciona tanto para
quanto para
. Portanto
Passo 4
Agora a segunda integral
.
Fato básico: a função exponencial
tem a propriedade simples de que sua derivada é ela mesma. Logo uma primitiva de
é
:
Como no integrando aparece
, temos
Passo 5
Somando as duas primitivas obtidas (e lembrando que constantes de integração podem ser combinadas numa única constante), obtemos:
onde
é uma constante real arbitrária (resultado da soma de
e
ou just a single constant).
Passo 6
Verificação rápida (bom hábito na prova): derivando a resposta devemos voltar ao integrando.
Calcule .
Derivando termo a termo:
Calcule
Derivando termo a termo:
Somando dá
, que é exatamente o integrando. Então a primitiva está correta. Lembre-se de que a expressão é válida para
.