Exercício 1. Calcule as integrais indefinidas abaixo.
\int\left(\frac{1}{2 x}-e^{x}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\displaystyle \int\left(\frac{1}{2 x}-e^{x}\right)\,dx.
Informações dadas:
\displaystyle integrando é a função \displaystyle \frac{1}{2x}-e^{x}.
A tarefa é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=\displaystyle \frac{1}{2x}-e^{x}. Não foi dada nenhuma condição inicial, então a primitiva deve incluir a constante de integração \displaystyle C.

Passo 2

Usaremos duas propriedades básicas e muito úteis das integrais:
  1. linearidade da integral (a integral da soma é a soma das integrais) e fator constante (um escalar sai da integral). Em fórmulas:
\int\bigl(a\cdot f(x)+b\cdot g(x)\bigr)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx,
onde a e b são constantes e f,g são funções integráveis. Aqui a=\tfrac{1}{2} em parte do integrando e b=-1 na outra parte.
Aplicando isso à nossa integral:
\int\left(\frac{1}{2 x}-e^{x}\right)\,dx = \int\frac{1}{2x}\,dx - \int e^{x}\,dx.

Passo 3

Trabalhando a primeira integral \displaystyle \int\frac{1}{2x}\,dx.
Observação: \displaystyle \frac{1}{2x}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x}. Usando o fator constante:
\int\frac{1}{2x}\,dx = \frac{1}{2}\int\frac{1}{x}\,dx.
Agora a fórmula básica: a primitiva de \displaystyle \frac{1}{x} é o logaritmo natural com valor absoluto:
\int\frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C.
Explicação curta do porquê do valor absoluto: a derivada de \ln|x| é \dfrac{1}{x} para x\neq0, então \ln|x| funciona tanto para x>0 quanto para x<0. Portanto
\frac{1}{2}\int\frac{1}{x}\,dx = \frac{1}{2}\ln|x| + C_1.

Passo 4

Agora a segunda integral \displaystyle \int e^{x}\,dx.
Fato básico: a função exponencial \displaystyle e^{x} tem a propriedade simples de que sua derivada é ela mesma. Logo uma primitiva de \displaystyle e^{x} é \displaystyle e^{x}:
\int e^{x}\,dx = e^{x} + C_2.
Como no integrando aparece -e^{x}, temos
\int -e^{x}\,dx = -e^{x} + C_2.

Passo 5

Somando as duas primitivas obtidas (e lembrando que constantes de integração podem ser combinadas numa única constante), obtemos:
\int\left(\frac{1}{2 x}-e^{x}\right)\,dx = \frac{1}{2}\ln|x| - e^{x} + C,
onde \displaystyle C é uma constante real arbitrária (resultado da soma de C_1 e -C_2 ou just a single constant).

Passo 6

Verificação rápida (bom hábito na prova): derivando a resposta devemos voltar ao integrando.
Calcule \dfrac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{2}\ln|x| - e^{x}\right).
Derivando termo a termo:
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\ln|x|\right) = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x}=\frac{1}{2x}, \qquad \frac{d}{dx}\left(-e^{x}\right) = -e^{x}.
Somando dá \displaystyle \frac{1}{2x}-e^{x}, que é exatamente o integrando. Então a primitiva está correta. Lembre-se de que a expressão é válida para x\neq0.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}\ln|x|-e^{x}+C

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