Exercício 1. Calcule as integrais indefinidas abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas: a função a integrar é o produto de
por
. Não há outros dados (limites, condições), então queremos encontrar uma primitiva (antiderivada) genérica, adicionando a constante de integração
.
Passo 2
Observação que nos guia para o método: o interior do parêntese é
e sua derivada em relação a
é proporcional a
. Essa coincidência indica que a substituição do tipo
(substituição simples ou “u-substitution”) é a maneira mais direta. A ideia da substituição é:
então uma integral em
pode virar uma integral em
mais simples.
Passo 3
Façamos a substituição concreta: defina
Agora calcule
. Derivando ambos os lados em relação a
temos
Isolando
(porque o integrando tem exatamente
) obtemos
Passo 4
Substitua na integral original: onde estava
coloque
e onde estava
coloque
. Assim
Passo 5
Integre em
usando a regra do poder para integrais: para qualquer
,
Aqui
, logo
Passo 6
Multiplique pelo fator que ficou fora da integral:
Passo 7
Volte à variável
substituindo
:
Fazendo uma verificação rápida (derivando a resposta) vemos que
que é exatamente o integrando, então a primitiva está correta.
Passo 8
Resumo didático rápido: quando você vir uma expressão do tipo
multiplicada por uma função que é proporcional à derivada de “algo” (aqui
é proporcional a
), a substituição
costuma transformar a integral numa potência simples de
. Isso evita ter que expandir o polinômio e integrar termo a termo.