Exercício 1. Calcule as integrais indefinidas abaixo.
\int x\left(2 x^{2}-3\right)^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x\left(2 x^{2}-3\right)^{2}\, dx.
Informações dadas: a função a integrar é o produto de x por \left(2x^{2}-3\right)^{2}. Não há outros dados (limites, condições), então queremos encontrar uma primitiva (antiderivada) genérica, adicionando a constante de integração \,C.

Passo 2

Observação que nos guia para o método: o interior do parêntese é \left(2x^{2}-3\right) e sua derivada em relação a x é proporcional a x. Essa coincidência indica que a substituição do tipo u=g(x) (substituição simples ou “u-substitution”) é a maneira mais direta. A ideia da substituição é:
\text{se } u=g(x),\quad du=g'(x)\,dx,
então uma integral em x pode virar uma integral em u mais simples.

Passo 3

Façamos a substituição concreta: defina
u = 2x^{2}-3.
Agora calcule du. Derivando ambos os lados em relação a x temos
du = \frac{d}{dx}\left(2x^{2}-3\right)\,dx = 4x\,dx.
Isolando x\,dx (porque o integrando tem exatamente x\,dx) obtemos
x\,dx = \frac{1}{4}\,du.

Passo 4

Substitua na integral original: onde estava \left(2x^{2}-3\right) coloque u e onde estava x\,dx coloque \dfrac{1}{4}\,du. Assim
\int x\left(2 x^{2}-3\right)^{2}\, dx = \int u^{2}\cdot\left(\frac{1}{4}\,du\right) = \frac{1}{4}\int u^{2}\,du.

Passo 5

Integre em u usando a regra do poder para integrais: para qualquer n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=2, logo
\int u^{2}\,du = \frac{u^{3}}{3}+C.

Passo 6

Multiplique pelo fator que ficou fora da integral:
\frac{1}{4}\int u^{2}\,du = \frac{1}{4}\cdot\frac{u^{3}}{3}+C = \frac{u^{3}}{12}+C.

Passo 7

Volte à variável x substituindo u=2x^{2}-3:
\int x\left(2 x^{2}-3\right)^{2}\, dx = \frac{\left(2x^{2}-3\right)^{3}}{12}+C.
Fazendo uma verificação rápida (derivando a resposta) vemos que
\frac{d}{dx}\left[\frac{\left(2x^{2}-3\right)^{3}}{12}\right] = \frac{1}{12}\cdot 3\left(2x^{2}-3\right)^{2}\cdot 4x = x\left(2x^{2}-3\right)^{2},
que é exatamente o integrando, então a primitiva está correta.

Passo 8

Resumo didático rápido: quando você vir uma expressão do tipo (\text{algo})^{n} multiplicada por uma função que é proporcional à derivada de “algo” (aqui x é proporcional a \frac{d}{dx}(2x^{2}-3)), a substituição u=\text{algo} costuma transformar a integral numa potência simples de u. Isso evita ter que expandir o polinômio e integrar termo a termo.

Resposta

\displaystyle \frac{\left(2x^{2}-3\right)^{3}}{12}+C

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