Exercício 1. Calcule as integrais indefinidas abaixo.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
Informações dadas: a integranda é a soma de dois termos polinomiais (
e
). Como é integral indefinida, o resultado deve ser uma família de primitivas, ou seja, uma função
tal que
, mais uma constante arbitrária
.
Passo 2
Propriedades úteis que vamos usar (explicando): a integral é linear, o que significa duas coisas importantes:
e, se
é constante,
Isso permite separar a integral em duas partes e tirar os coeficientes constantes para fora da integral.
Passo 3
Aplicando a linearidade para separar a integral:
Passo 4
Regra do expoente (fórmula que vamos usar): para
,
onde
é o expoente da potência de
,
é a nova potência depois de integrar, e
é o divisor. Essa fórmula é a base para integrar potências de
.
Passo 5
Integramos o primeiro termo
:
Expliquei cada passo: tirei o
para fora, apliquei a fórmula com
e cancelei o
.
Passo 6
Integramos o segundo termo
:
Aqui usei
na fórmula e fiz a simplificação
.
Passo 7
Somando as primitivas dos dois termos e acrescentando a constante
:
Passo 8
Verificação rápida (como conferir na prova): diferencie
:
que é exatamente a integranda dada. Logo a primitiva está correta.