Exercício 1. Calcule as integrais indefinidas abaixo.
\int\left(2 x+9 x^{2}\right) d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int\left(2 x+9 x^{2}\right)\,dx.
Informações dadas: a integranda é a soma de dois termos polinomiais ( 2x e 9x^{2}). Como é integral indefinida, o resultado deve ser uma família de primitivas, ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=2x+9x^{2}, mais uma constante arbitrária C.

Passo 2

Propriedades úteis que vamos usar (explicando): a integral é linear, o que significa duas coisas importantes:
\int\big(f(x)+g(x)\big)\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx
e, se a é constante,
\int a\cdot f(x)\,dx=a\int f(x)\,dx.
Isso permite separar a integral em duas partes e tirar os coeficientes constantes para fora da integral.

Passo 3

Aplicando a linearidade para separar a integral:
\int\left(2 x+9 x^{2}\right)\,dx=\int 2x\,dx+\int 9x^{2}\,dx.

Passo 4

Regra do expoente (fórmula que vamos usar): para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,
onde n é o expoente da potência de x, x^{n+1} é a nova potência depois de integrar, e n+1 é o divisor. Essa fórmula é a base para integrar potências de x.

Passo 5

Integramos o primeiro termo \int 2x\,dx:
\int 2x\,dx=2\int x\,dx=2\cdot\frac{x^{1+1}}{1+1}=2\cdot\frac{x^{2}}{2}=x^{2}.
Expliquei cada passo: tirei o 2 para fora, apliquei a fórmula com n=1 e cancelei o 2.

Passo 6

Integramos o segundo termo \int 9x^{2}\,dx:
\int 9x^{2}\,dx=9\int x^{2}\,dx=9\cdot\frac{x^{2+1}}{2+1}=9\cdot\frac{x^{3}}{3}=3x^{3}.
Aqui usei n=2 na fórmula e fiz a simplificação 9/3=3.

Passo 7

Somando as primitivas dos dois termos e acrescentando a constante C:
F(x)=x^{2}+3x^{3}+C.

Passo 8

Verificação rápida (como conferir na prova): diferencie F(x):
F'(x)=\frac{d}{dx}\big(x^{2}+3x^{3}\big)=2x+9x^{2},
que é exatamente a integranda dada. Logo a primitiva está correta.

Resposta

x^{2}+3x^{3}+C

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