Exercício 1. Calcule as integrais indefinidas abaixo.
\int x^{2} \cos \left(x^{3}+1\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x^{2}\cos\!\left(x^{3}+1\right)\,dx.
Informações dadas e o que devemos encontrar:
  • A variável de integração é x.
  • O integrando é o produto de x^{2} e \cos\!\left(x^{3}+1\right).
  • Queremos uma primitiva (antiderivada), ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=x^{2}\cos\!\left(x^{3}+1\right), mais a constante de integração C.

Passo 2

Observação didática sobre método: quando temos uma função composta, por exemplo \cos\!\left(x^{3}+1\right), e outra parte do integrando que se parece com a derivada do interior (aqui x^{3}+1), é natural tentar a substituição u= (interior). A substituição funciona porque a regra da cadeia na diferenciação mostra que a derivada do interior aparece multiplicando a derivada externa. Vou aplicar isso aqui.

Passo 3

Faço a substituição
u = x^{3}+1.
Diferenciando ambos os lados em relação a x obtemos
du = 3x^{2}\,dx.
Isolando x^{2}\,dx fica
x^{2}\,dx = \frac{1}{3}\,du.

Passo 4

Agora substituo na integral original usando u e du. A integral
\int x^{2}\cos\!\left(x^{3}+1\right)\,dx
passa a ser, após a substituição,
\int \cos(u)\cdot\frac{1}{3}\,du = \frac{1}{3}\int \cos(u)\,du.
Explico rapidinho: trocamos \cos\!\left(x^{3}+1\right) por \cos(u) e x^{2}\,dx por \frac{1}{3}\,du.

Passo 5

Integro \cos(u). Sabemos que a derivada de \sin(u) é \cos(u), então uma primitiva de \cos(u) é \sin(u). Assim
\frac{1}{3}\int \cos(u)\,du = \frac{1}{3}\sin(u) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Volto à variável x substituindo u = x^{3}+1. Isso nos dá a primitiva em x:
\frac{1}{3}\sin\!\left(x^{3}+1\right) + C.
Para conferir rapidamente: derivando \frac{1}{3}\sin\!\left(x^{3}+1\right) usamos a regra da cadeia e obtemos
\frac{1}{3}\cos\!\left(x^{3}+1\right)\cdot 3x^{2} = x^{2}\cos\!\left(x^{3}+1\right),
que é exatamente o integrando original. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}\sin\!\left(x^{3}+1\right)+C

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