Exercício 1. Calcule as integrais indefinidas abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas e o que devemos encontrar:
- A variável de integração é
. - O integrando é o produto de
e . - Queremos uma primitiva (antiderivada), ou seja, uma função
tal que , mais a constante de integração .
Passo 2
Observação didática sobre método: quando temos uma função composta, por exemplo
, e outra parte do integrando que se parece com a derivada do interior (aqui
), é natural tentar a substituição
(interior). A substituição funciona porque a regra da cadeia na diferenciação mostra que a derivada do interior aparece multiplicando a derivada externa. Vou aplicar isso aqui.
Passo 3
Faço a substituição
Diferenciando ambos os lados em relação a
obtemos
Isolando
fica
Passo 4
Agora substituo na integral original usando
e
. A integral
passa a ser, após a substituição,
Explico rapidinho: trocamos
por
e
por
.
Passo 5
Integro
. Sabemos que a derivada de
é
, então uma primitiva de
é
. Assim
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Volto à variável
substituindo
. Isso nos dá a primitiva em
:
Para conferir rapidamente: derivando
usamos a regra da cadeia e obtemos
que é exatamente o integrando original. Portanto a primitiva está correta.