Exercício: Calcule as integrais
integral 23+x^2 d x;

Passo 1

Neste exercício, vamos calcular a integral integral 23 + x^2 , dx. O conteúdo principal é a integração de uma função do tipo 1/(a^2 + x^2), que leva à função arco-tangente, e precisaremos usar a fórmula da integral de 1a^2 + x^2.

Passo 2

Primeiro, fatoramos a constante 2 fora da integral para simplificar:
integral 23 + x^2 , dx = 2 integral 13 + x^2 , dx

Passo 3

Reconhecemos que 3 = (raiz3)^2, então podemos aplicar a fórmula
integral dxa^2 + x^2 = 1a arctanl(tfracxar) + C,
com a = raiz3. Assim,
integral 13 + x^2 , dx = integral 1(raiz3)^2 + x^2 , dx = 1raiz3 arctanl(tfracxraiz3r) + C

Passo 4

Por fim, voltamos ao fator 2 que tiramos e escrevemos a resposta geral da integral completa:
2 cdot 1raiz3 arctanl(tfracxraiz3r) + C = 2raiz3 arctanl(tfracxraiz3r) + C

Resposta

2raiz3 arctanl(tfracxraiz3r) + C

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